Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Уравнение с линейное двумя неизвестными


Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Системой [cbm]m[/cbm] линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными называется система уравнений вида

[cbm]\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2=b_1,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2=b_2,\\ \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2=b_m. \end{cases}[/cbm]

(3.26)

Числа [cbm]a_{ij},~i=1,\ldots,m,~j=1,2[/cbm] называются коэффициентами системы; [cbm]b_1,b_2,\ldots,b_m[/cbm] — свободными членами, [cbm]x_1,x_2[/cbm] — неизвестными.

Решением системы называется упорядоченная пара чисел [cbm](\alpha_1,\alpha_2)[/cbm] такая, что после замены неизвестных [cbm]x_1,x_2[/cbm] соответственно числами [cbm]\alpha_1,\alpha_2[/cbm] каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система (3.26) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

[cbm]\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2=0,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2=0,\\ \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2=0. \end{cases}[/cbm]

(3.27)

В отличие от однородной, систему общего вида (3.26) называют неоднородной.

Систему (3.26) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы

[cbm]A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}\end{pmatrix}\!.[/cbm]

свободные члены записываем в столбец свободных членов [cbm]b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}[/cbm] , а неизвестные — в столбец неизвестных [cbm]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}[/cbm]

Матричная запись неоднородной системы уравнений (3.26) имеет вид

а однородной:

где символ [cbm]o[/cbm] в правой части обозначает нулевой столбец размеров [cbm]m\times1\colon\, o=\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}[/cbm] .

Блочная матрица [cbm](A\mid b)=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}& \!\!\vline\!\!&b_1\\\vdots&\vdots&\!\!\vline\!\!&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\!\!\vline\!\!&b_m\end{pmatrix}[/cbm] называется расширенной матрицей системы (3.26).

Рассматривается случай, когда все уравнения системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных каждого уравнения не равны нулю одновременно. Поэтому матрица [cbm]A[/cbm] системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые.

В соответствии с матричной записью решением системы (3.28) называется столбец [cbm]x=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}[/cbm] , при подстановке которого в (3.28) получаем верное равенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой столбец [cbm]o[/cbm] является решением однородной системы (3.29), т.е. любая однородная система уравнений совместна.

Рангом системы уравнений (3.26) называется ранг матрицы [cbm]A[/cbm] системы: [cbm]r=\operatorname{rang}A[/cbm] , т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы [cbm]A[/cbm] (максимальное число линейно независимых уравнений системы). Поскольку матрица системы (3.26) ненулевая и содержит два столбца, то ее ранг [cbm]r=\operatorname{rang}A\leqslant2[/cbm] . Ранг может быть равен либо единице ( [cbm]r=1[/cbm] , если все строки матрицы [cbm]A[/cbm] пропорциональны), либо двум ( [cbm]r=2[/cbm] , если имеются две линейно независимые строки).

Выясним геометрический смысл и свойства решений системы уравнений (3.26).

Пусть на плоскости задана аффинная система координат [cbm]Ox_1x_2[/cbm] . Как показано ранее, множество точек [cbm]X(x_1,x_2)[/cbm] , координаты которых удовлетворяют линейному уравнению с двумя неизвестными [cbm]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i[/cbm] , или [cbm]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2-b_i=0[/cbm] , представляет собой прямую. Поэтому множество решений системы уравнений является пересечением прямых [cbm]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2-b_i=0,~i=1,\ldots,m[/cbm] .

Примеры пересечения прямых

Если ранг системы (3.26) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех уравнений пропорциональны. В этом случае любые две прямые параллельны (система уравнений несовместна (рис.3.31,а)) или совпадают (в этом случае вся система (3.26) равносильна одному, например, первому ее уравнению (рис.3.31,6)).

Если ранг системы равен 2, то в системе имеются хотя бы два линейно независимых уравнения. Прямые, соответствующие этим уравнениям, пересекаются, например, в точке [cbm]X_0(x_{10},x_{20})[/cbm] . Поэтому множество решений системы (3.26) либо одна точка (система совместна, все прямые проходят через точку [cbm]X_0[/cbm] , т.е. все прямые принадлежат собственному пучку прямых (рис.3.31,в)), либо пусто (система несовместна (рис.3.31,г)).

Для решения системы (3.26) обычно применяется метод Гаусса исключения неизвестных, при котором уравнения системы заменяются линейными комбинациями уравнений, содержащими меньшее количество неизвестных, при этом расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Продемонстрируем этот метод на примере.

Пример 3.17. Решить системы уравнений:

[cbm]\mathsf{1)}\begin{cases}x_1-2x_2=1,\\2x_1-4x_2=2,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{2)}\begin{cases}x_1-2x_2=1,\\2x_1-4x_2=2,\\-x_1+2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{3)}\begin{cases}x_1+2x_2=3,\\x_1-4x_2=-3,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{4)}\begin{cases}x_1+2x_2=3,\\x_1-4x_2=-2,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases}[/cbm]

Изобразить множество решений на координатной плоскости [cbm]Ox_1x_2[/cbm] .

Решение.

1) Составляем расширенную матрицу системы [cbm](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}.[/cbm]

Поскольку [cbm]a_{11}=1\ne0[/cbm] (элемент [cbm]a_{11}[/cbm] — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую, умноженную на [cbm](-2)[/cbm] и на [cbm](-1)[/cbm] соответственно:

[cbm](A\mid b)= \begin{pmatrix}1&-1&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&0&\!\!\vline\!\!&-2\end{pmatrix}.[/cbm]

Последняя строка соответствует уравнению [cbm]0\cdot x_1+0\cdot x_2=-2[/cbm] , которое не имеет решений. Следовательно, множество решений системы пустое (прямые, задаваемые уравнениями системы, изображены на рис.3.31,а).

2) Составляем расширенную матрицу системы [cbm](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}.[/cbm]

Поскольку [cbm]a_{11}=1\ne0[/cbm] (элемент [cbm]a_{11}[/cbm] — ведущий), прибавим к третьей строке первую, а ко второй — первую, умноженную на [cbm](-2):[/cbm]

[cbm](A\mid b)=\!\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix} ~\Leftrightarrow~ \begin{pmatrix}1&-2\\0&0\\0&0\end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.[/cbm]

Система равносильна одному уравнению [cbm]x_1-2x_2=1[/cbm] . Множество ее решений представляет собой прямую на координатной плоскости [cbm]Ox_1x_2[/cbm] . Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют системе уравнений, следовательно, система имеет бесконечно много решений (рис.3.31,6).

3) Составляем расширенную матрицу системы [cbm](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}.[/cbm]

Поскольку [cbm]a_{11}=1\ne0[/cbm] (элемент [cbm]a_{11}[/cbm] — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую строку, умноженную на (-1):

[cbm](A\mid b)= \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!& 3\\ 1&-4& \!\!\vline\!\!&-3\\ 1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-6\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}.[/cbm]

Разделим вторую строку на (-6), а затем к первой и третьей строкам прибавим вторую, умноженную на (-2) и на 4 соответственно:

[cbm](A\mid b)\,\sim \begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-6\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&1&\!\!\vline\!\!&1\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&\!\!\vline\!\!&1\\0&1&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix} ~\Leftrightarrow~ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}.[/cbm]

Получили единственное решение [cbm]x_1=1,~x_2=1[/cbm] , которому соответствует точка [cbm]X_0(1;1)[/cbm] на координатной плоскости (рис.3.31,в).

4) Составляем расширенную матрицу системы [cbm](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}.[/cbm]

Поскольку [cbm]a_{11}=1\ne0[/cbm] (элемент [cbm]a_{11}[/cbm] — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую строку, умноженную на (-1):

[cbm](A\mid b)= \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 1&-4&\!\!\vline\!\!&-2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}.[/cbm]

Разделим третью строку на (-4), а затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на 6:

[cbm](A\mid b)\,\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\ 0&1& \!\!\vline\!\!&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&0&\!\!\vline\!\!&1\\0&1&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}.[/cbm]

Вторая строка соответствует уравнению [cbm]0\cdot x_1+0\cdot x_2=1[/cbm] , которое не имеет решений. Следовательно, система несовместна (прямые, задаваемые уравнениями системы, изображены на рис.3.31,2).

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

calcsbox.com

уравнение с двумя неизвестными — Помогите решить линейное уравнение с двумя неизвестными что бы понять принцип! — 22 ответа



Как решать уравнения с двумя неизвестными

В разделе Домашние задания на вопрос Помогите решить линейное уравнение с двумя неизвестными что бы понять принцип! заданный автором Lol lol лучший ответ это Способ сложения. Почленно сложить два уравнения-2х+6х=84х=8х=2Вместо х подставим 2,получим у=2*2+1=5х=2 и у=5

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Помогите решить линейное уравнение с двумя неизвестными что бы понять принцип!

Ответ от Посошок[новичек]Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные члены – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.2Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на такое число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.3Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут решением задачи.4Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, возраст, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество детей, яблок, деревьев и т. д. – тогда значениями могут быть только целые числа. Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.5Постройте график прямой, соответствующий линейному уравнению. Посмотрите на график, возможно, на нем будет всего лишь несколько решений, удовлетворяющих всем условиям – например, целых и положительных чисел. Они и будут являться решениями вашего уравнения.

Ответ от Простофиля[новичек]Вырази у в первом уравнении через ху=1+2хПодставь во второе уравнение6х-(1+2х) =7раскрой скобки6х-1-2х=7Найди хх=2Подставь х в любое из уравнений (которые были даны)у-2*2=1найди уу=5Итогу=5х=2

Ответ от Ђанюшка Котишевская[мастер]1)выражаешь одну из переменных *лучше из первого*:у=1+2х;2)выраженную переменную подставляешь во второе уравнение:6х-(1+2х) =73) решаешь его:6х-1-2х=74х=8х=24)подставляешь ее в любое из заданных ур-ий:у-2*2=1у=1+4у=55) ответ:(2;5).

Ответ от Невропатолог[новичек]я сама не разобралась помогите мне

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Линейные уравнения с двумя неизвестными

Конспект урока по алгебре в 7-м классе по теме:

«Линейное уравнение с двумя переменными»

Цели урока :

Образовательные - Дать определение линейного уравнения с двумя переменными. Выяснить, что значит решить линейное уравнение с двумя переменными.

Развивающие - развивать навыки мыслительной деятельности учащихся способствовать развитию познавательной активности, логическому мышлению Воспитательные - воспитание интереса к предмету

Тип урока : изучение нового материала

Планируемые результаты : знают определение линейного уравнения с двумя переменными, умеют выражать одну переменную через другую, находить пары решений

Оборудование : учебник, мультимедийная доска, карточки с заданиями.

Ход урока.

1.Организационный момент.

2.Сообщение темы и цели урока.

Предлагаю учащимся назвать тему и определить цель урока.

На доске записаны два уравнения : 2х = 5, Зх +5у = 7

Вопросы:

-Как называются выражения записанные на доске? (предполагаемый ответ: уравнения).

-Какое из двух уравнений вы изучали? Как оно называется? (предполагаемый ответ: линейное уравнение с одной переменной). Чем отличается второе уравнение от первого.

Попробуйте назвать тему урока ( предполагаемый ответ: линейное уравнение с двумя переменными).

Попробуйте назвать цель урока.

3.Актуализация опорных знаний.

Для изучения новой темы нам необходимо повторить понятия пройденного

материала

Продолжите фразу :

  1. Линейным уравнением с одной переменной называется ...

  2. Решить уравнение это значит найти ...

  3. Корнем уравнения называется...

  4. Изучение нового материала.

Из данных выражений выбрать и записать в столбик линейные уравнения с одной переменной 2х=4, Зх-4=5х, 4х-2=у, 2х=3у, Зв-24, Зх-12=4, х2 -у=5, х+у=1, ху+2=1, 2а+7

Предлагаю ответить на вопрос: Как называются оставшиеся уравнения?

Предлагаю учащимся дать определение уравнения с двумя переменными и

линейного уравнения с двумя переменными

Даю определение уравнения с двумя переменными и линейного уравнения с двумя переменными.

Устная работа

Задание 1: Придумайте линейное уравнение с двумя переменными.

Из данных уравнений назовите линейные уравнения с двумя переменными.

1)7-х=у; 2)5х-у=4; 3)2ху+5=х;4)2х-0,4у+7=6; 5)х=ху+8; 6)у- 4х+2у=7 Дать определение решения уравнения

Метод подбора. Предлагаю учащимся для уравнения 2х+у=5 подобрать пару чисел, которая является решением уравнения. Предлагаю свое решение. Обращаю внимание на количество решений.

Показываю как выразить одну переменную через другую.

Индивидуальная работа .Задание на карточке:

1.Заполнить таблицу:

Уравнение

У через X

X через У

у - 2х = 4

5х+у = 7

Проверка задания.

Физкультминутка

1.Предлагаю составить алгоритм решения линейного уравнения с двумя переменными х+4у = 7 (Работа у доски)

2.Пользуясь алгоритмом, выразите из данного уравнения переменную у через х и найдите одно решение уравнения у - 5х = 2 7 (Работа у доски)

3.Выполнить № 1028 (Работа с учебником)

Резерв задание на карточке. и J

5.Подведение итогов урока. Рефлексия «Лестница успеха»

Знаем определение линейного уравнения с двумя переменными

Умеем выражать одну переменную через другую

Умеем находить пары решений

6.Домашнее задание. (3 уровня сложности) Слайд 17.

1 уровень п.40, с199, №1025(а,б), №1030

2 уровень п.40, с199, №1025(а,б), №1030, №1032(а)

3 уровень п.40, с199, №1030, 1032(а), придумать уравнение и найти две пары решений.

multiurok.ru

Конспект урока по теме "Линейное уравнение с двумя неизвестными"

На данном уроке мы рассмотрим уравнение с двумя переменными, дадим его определение и построим график.

 

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

 1. Напоминание теоретического материала и формулировка определения линейного уравнения с двумя переменными

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости.  Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе – ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

, где a, b, с – числа, причем 

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

 2. Изучение алгоритма построения графика уравнения на примере

Рассмотрим пример:

Пример 1:

; ; ;

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

0

3

у

3

0

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим – возьмем точку с координатой  и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 – верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

 3. Решение примера

Пример 2 – построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

0

-2

2

у

3

0

6

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, , 

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , , 

Возьмем для проверки  и найдем у:

, , 

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

 4. Выводы по уроку

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

infourok.ru

Алгебра 7-9 классы. 9. Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

  • Главная
  • Видеотека
    • Естествознание
      • Физика
      • Математика
      • Химия
      • Биология
      • Экология
    • Обществознание
      • Обществознание - как наука
      • Иностранные языки
      • История
      • Психология и педагогика
      • Русский язык и литература
      • Культурология
      • Экономика
      • Менеджмент
      • Логистика
      • Статистика
      • Философия
      • Бухгалтерский учет
    • Технические науки
      • Черчение
      • Материаловедение
      • Сварка
      • Электротехника
      • АСУТП и КИПИА
      • Технологии
      • Теоретическая механика и сопромат
      • САПР
      • Метрология, стандартизация и сертификация
      • Геодезия и маркшейдерия
    • Программирование и сеть
      • Информатика
      • Языки программирования
      • Алгоритмы и структуры данных
      • СУБД
      • Web разработки и технологии
      • Архитектура ЭВМ и основы ОС
      • Системное администрирование
      • Создание программ и приложений
      • Создание сайтов
      • Тестирование ПО
      • Теория информации и кодирования
      • Функциональное и логическое программирование
    • Программы
      • Редакторы и компиляторы
      • Офисные программы
      • Работа с аудио видео
      • Работа с компьютерной графикой и анимацией
      • Автоматизация бизнеса
    • Прочие
      • Музыка
      • Природное земледелие
      • Рисование и живопись
  • Библиотека
    • Естествознание
      • Физика
      • Математика
      • Химия
      • Биология
      • Экология
      • Астрономия
    • Обществознание
      • Иностранные языки
    • Технические науки

forkettle.ru

Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными

 

Найти все целые x и y, такие, что ax + by = c (где a, b, c – целые числа).

 

Уравнения в целых числах называют диофантовыми по имени древнегреческого математика Диофанта, жившего, предположительно, в III веке н.э. Линейные диофантовы уравнения содержат неизвестные величины только в первой степени.

 

Напоминаем, что решить уравнение – значит найти все его решения и доказать, что других нет. В частности, если уравнение имеет бесконечно много решений, нужно описать всё множество решений некоторой общей формулой, а не ограничиться одним или несколькими примерами. С другой стороны, если уравнение имеет пустое множество решений, то обосновать этот факт – тоже означает решить уравнение.

 

Пример

 

2x + 5y = 17 (2)

 

Сначала найдём множество решений уравнения 2x + 5y = 1.

2 × 3 – 5 × 1 = 1, поэтому можем считать, что x0 = 3, y0 = –1.

 

Поскольку мы решаем уравнение 2x + 5y = 17, а не 2x + 5y = 1, то значения x0 и y0 нужно увеличить в 17 раз.

 

Получим: 17x0 = 51, 17y0 = –17.

 

В этом случае 2 × (17x0) + 5 × (17y0) = 17.

 

Но задача состоит в том, чтобы найти все пары целых чисел, удовлетворяющих равенству (2).

 

Если увеличить 17x0 на 5t, а 17y0 уменьшить на 2t (где t – некоторое целое число), то пара чисел x = 17x0 + 5t и y = 17y0 – 2t будет удовлетворять условию (2), поскольку слагаемое 2x увеличится на 10t, а слагаемое 5y уменьшится на 10t.

 

Итак, ответ:

 

x = 51 + 5t, y = –17 – 2t.

 

Примечание

 

Некоторые линейные диофантовы уравнения имеют пустое множество решений, например, 6x + 21y = 2. При этом левая часть равенства кратна 3, а правая часть равенства не кратна 3.

 

Простые числа

 

Определение.

Натуральное число называют простым, если оно делится только на себя и на 1. Натуральное число, не являющееся простым, называют составным.

 

Примечание.

Число 1 не является ни простым, ни составным.

 

Решето Эратосфена

 

Удобный способ выписать все простые числа, не превосходящие заданного натурального числа, придумал древнегреческий математик Эратосфен (276 год до н. э. — 194 год до н. э.). Идея состоит в том, чтобы выписать подряд все целые числа от 2 до некоторого числа n, а затем вычеркнуть сначала все числа, кратные 2, затем все числа, кратные 3, и так далее, вычёркивая все числа, кратные простому числу p. Можно остановить действия тогда, когда величина p2 превзойдёт n.

 

Основная теорема арифметики

Каждое натуральное число можно единственным образом представить в виде , где pi – различные простые числа.

Примеры

1. Разложение на множители числа 1200.

2. На сколько нулей оканчивается произведение всех чисел от 1 до 100? (Его обозначают 100!, и называют «сто факториал»).

Выясним, на какую наибольшую степень числа 10 делится наше число, то есть в какой степени входят в данное число простые множители 2 и 5.

Множитель 5 встречается в 20 числах, и при этом в 4 числах он встречается в степени 2 (это числа 25, 50, 75 и 100). Поэтому в произведение множитель 5 входит в степени 24.

Число 2 входит в произведение в степени, превышающей 24.

Итак, 100! содержит 10 в степени 24, поэтому оканчивается на 24 нуля.

 

Степень вхождения данного простого числа в разложение факториала

 

Несложно разложить на простые множители факториал натурального числа, воспользовавшись рассуждениями, наподобие только что приведённых для деления 100! на 5.

Каждое простое число p входит в разложение числа n! следующее количество раз:

(Обоснование формулы состоит в том, что сначала рассматривают числа, кратные p, затем кратные квадрату p, затем кратные кубу p, и так далее).

Количество слагаемых не бесконечно, поскольку начиная с некоторого места они равны нулю.

 

Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел

Доказательство бесконечности множества простых чисел.

 

Предположим, что простых чисел конечное количество. Выпишем их все: p1, p2, … , pn.

Затем перемножим все эти числа и прибавим 1. Рассмотрим число N = p1 ∙ p2 ∙ … ∙ pn + 1.

Это число не может быть простым, поскольку больше любого из простых чисел.

При этом оно не может быть и составным, поскольку не делится ни на одно из простых чисел.

Получаем противоречие, которое говорит о том, что простых чисел бесконечно много.

 

Системы счисления

 

Определение.

 

Позиционная система счисления с основанием b – это способ записи чисел в виде .

При этом ak – цифры этого числа.

Самая распространённая система счисления – десятичная, но иногда (например, в программировании) используют и двоичную систему, и восьмеричную, и шестнадцатиричную системы счисления.

Деление часа и градуса на 60 минут и 3600 секунд осталось нам в память о шестидесятиричной системе, использовавшейся в древности.

 

Для перехода от недесятичной системы (например, девятиричной) к десятичной запишите выражение вида , подставьте его цифры и найдите таким образом значение.

Например, , то есть число 371 в девятиричной системе равно числу 307 в десятичной системе счисления.

Обратный переход (от записи в десятичной к записи в девятеричной системе) осуществляется так. Ищем представление числа в виде , причём поиск начнём с последней цифры, которая равна остатку от деления числа на 9.

Сначала разделим число 307 на 9 с остатком, остаток равен 1. Это последняя цифра девятиричной записи числа.

(307 – 1) : 9 = 34. Остаток от деления на 9 этого числа равен 7. Поэтому вторая с конца цифра равна 7.

(34 – 7) : 9 = 3. Поэтому первая цифра равна 3.

 

Сравнение по модулю

Определение

 

Говорят, что a сравнимо с b по модулю c, если . В этом случае пишут a º b (mod c), или a º b (c).

 

Пример

 

21 º 15 (mod 3).

 

Модульная арифметика

 

Определение

 

Кольцо остатков по данному модулю n - это множество всех остатков от деления натуральных чисел на данное число n. Это множество обозначают как Zn.

 

Название «кольцо остатков» связано с тем, что множество всех остатков удовлетворяет некоторым свойствам, принятым в алгебре. Подробный список этих свойств для краткости здесь приводить не будем.

 

Например, составим таблицу сложения в кольце остатков по модулю 4. Складывая остатки, результат сложения заменим его остатком от деления на 4.

Например, 1 + 3 заменим 0.

 

 

 

Таблица умножения в том же кольце остатков.

 

 

Обратите внимание на то, что в данном кольце остатков произведение двух ненулевых чисел (2 и 2) равно нулю.

 

stydopedia.ru

Линейные уравнения с двумя неизвестными

ГОПИНА ЛЮБОВЬ ПЕТРОВНА учитель математики МКУ Шумской СОШ

Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными.

Цель урока: Дать определение линейного уравнения с двумя переменными; выяснить, что значит решить уравнение с двумя переменными; рассмотреть свойства уравнений.

Ход урока.

  1. На доске записаны уравнения.

Задание 1: поделить эти уравнения на две группы. 2х=4; 0,3х-12=4; 2х=3у; 4х+2=у; 0,2х-4=5х; х+у=1.

2х=4; 0,2х-4=5х; 0,3х-12=4;

х+у=1; 4х+2=у; 2х=3у.

Задание 2: придумать примеры уравнений второго вида. После примеров пробуем дать определение линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах+ву=с, где а,в,с- некоторые числа, х и у- переменные.

Задание 3: из предложенных уравнений выбрать те, которые подходят под определение уравнения с двумя переменными: 1)7-х=у; 2)5х-у=4; 3)2ху+5=х; 4)2х-0,4у+7=0; 5)х=ху+8; 6)у-4х+2у=7. Объяснить выбор.

Задание 4: подобрать для уравнения 2х+у=5 такие значения переменным, чтобы они обратили данное уравнение в верное равенство. Выясняем, что таких пар чисел можно подобрать много. Например: если х=1, то у=3

если х=2, то у=1

если х=0, то у=5

Но способом подбора находить пары чисел, которые являются решением данного уравнения не очень удобно.

Задание 5: выразить одну переменную через другую.

2х+у=5 1)у=5-2х или 2) . Проверим подобранные пары чисел, выполнив подстановку в уравнения 1) и 2). Убеждаемся в верности найденных решений.

Задание 6: установить порядок нахождения таких пар чисел, которые являются решением линейного уравнений с двумя переменными.

  • Выразить одну переменную через другую

  • Придать значение одой переменной

  • Вычислить значение другой переменной

Задание 7: самостоятельно найти решение линейных уравнений с двумя переменными: у=2х+4; 2х-у=5; 0,5х+2у=8. а)выразить у через х; б)выразить х через у.

Работая с уравнениями, мы пользуемся свойствами:

  • Переносим слагаемые из одной части в другую, изменив при этом знак на противоположный;

  • Обе части уравнения делим на одно и то же число, не равное нулю.

Задание 8: проверить себя: Найдите пары чисел, которые являются решением данных уравнений при х=0.

1)х-у=5; 20х+у=8; 3)у-6х=1.

Задание 9: найти пары чисел, которые являются решением данного уравнения

2х+у=5; Предлагаю пары чисел.

х

-5

-4

-3

-1

0

4

5

у

0

3

4

-3

-5

-3

0

В конце урока подвести итог.

Что же мы знаем?

  • Знаем уравнение линейного уравнения с двумя переменными

  • Умеем выражать одну переменную через другую

  • Умеем находить пары чисел, которые являются решением линейных уравнений с двумя переменными.

infourok.ru