Как найти простые числа? Простое число определение в математике


Простые числа

Простые числа — это целые натуральные (положительные) числа больше единицы, которые имеют ровно 2 натуральных делителя (только 1 и самого себя), т.е. не делится ни на одно другое число, кроме самого себя и единицы. Все остальные числа кроме единицы называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

Последовательность простых чисел начинается так (от 2 до 10000 их 1229):

2 3 5 7 11 13

17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61

67 71 73 79 83 89

97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151

157 163 167 173 179 181

191 193 197 199 211 223

227 229 233 239 241 251

257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317

331 337 347 349 353 359

367 373 379 383 389 397

401 409 419 421 431 433

439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503

509 521 523 541 547 557

563 569 571 577 587 593

599 601 607 613 617 619

631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701

709 719 727 733 739 743

751 757 761 769 773 787

797 809 811 821 823 827

829 839 853 857 859 863

877 881 883 887 907 911

919 929 937 941 947 953

967 971 977 983 991 997

1009 1013 1019 1021 1031 1033

1039 1049 1051 1061 1063 1069

1087 1091 1093 1097 1103 1109

1117 1123 1129 1151 1153 1163

1171 1181 1187 1193 1201 1213

1217 1223 1229 1231 1237 1249

1259 1277 1279 1283 1289 1291

1297 1301 1303 1307 1319 1321

1327 1361 1367 1373 1381 1399

1409 1423 1427 1429 1433 1439

1447 1451 1453 1459 1471 1481

1483 1487 1489 1493 1499 1511

1523 1531 1543 1549 1553 1559

1567 1571 1579 1583 1597 1601

1607 1609 1613 1619 1621 1627

1637 1657 1663 1667 1669 1693

1697 1699 1709 1721 1723 1733

1741 1747 1753 1759 1777 1783

1787 1789 1801 1811 1823 1831

1847 1861 1867 1871 1873 1877

1879 1889 1901 1907 1913 1931

1933 1949 1951 1973 1979 1987

1993 1997 1999 2003 2011 2017

2027 2029 2039 2053 2063 2069

2081 2083 2087 2089 2099 2111

2113 2129 2131 2137 2141 2143

2153 2161 2179 2203 2207 2213

2221 2237 2239 2243 2251 2267

2269 2273 2281 2287 2293 2297

2309 2311 2333 2339 2341 2347

2351 2357 2371 2377 2381 2383

2389 2393 2399 2411 2417 2423

2437 2441 2447 2459 2467 2473

2477 2503 2521 2531 2539 2543

2549 2551 2557 2579 2591 2593

2609 2617 2621 2633 2647 2657

2659 2663 2671 2677 2683 2687

2689 2693 2699 2707 2711 2713

2719 2729 2731 2741 2749 2753

2767 2777 2789 2791 2797 2801

2803 2819 2833 2837 2843 2851

2857 2861 2879 2887 2897 2903

2909 2917 2927 2939 2953 2957

2963 2969 2971 2999 3001 3011

3019 3023 3037 3041 3049 3061

3067 3079 3083 3089 3109 3119

3121 3137 3163 3167 3169 3181

3187 3191 3203 3209 3217 3221

3229 3251 3253 3257 3259 3271

3299 3301 3307 3313 3319 3323

3329 3331 3343 3347 3359 3361

3371 3373 3389 3391 3407 3413

3433 3449 3457 3461 3463 3467

3469 3491 3499 3511 3517 3527

3529 3533 3539 3541 3547 3557

3559 3571 3581 3583 3593 3607

3613 3617 3623 3631 3637 3643

3659 3671 3673 3677 3691 3697

3701 3709 3719 3727 3733 3739

3761 3767 3769 3779 3793 3797

3803 3821 3823 3833 3847 3851

3853 3863 3877 3881 3889 3907

3911 3917 3919 3923 3929 3931

3943 3947 3967 3989 4001 4003

4007 4013 4019 4021 4027 4049

4051 4057 4073 4079 4091 4093

4099 4111 4127 4129 4133 4139

4153 4157 4159 4177 4201 4211

4217 4219 4229 4231 4241 4243

4253 4259 4261 4271 4273 4283

4289 4297 4327 4337 4339 4349

4357 4363 4373 4391 4397 4409

4421 4423 4441 4447 4451 4457

4463 4481 4483 4493 4507 4513

4517 4519 4523 4547 4549 4561

4567 4583 4591 4597 4603 4621

4637 4639 4643 4649 4651 4657

4663 4673 4679 4691 4703 4721

4723 4729 4733 4751 4759 4783

4787 4789 4793 4799 4801 4813

4817 4831 4861 4871 4877 4889

4903 4909 4919 4931 4933 4937

4943 4951 4957 4967 4969 4973

4987 4993 4999 5003 5009 5011

5021 5023 5039 5051 5059 5077

5081 5087 5099 5101 5107 5113

5119 5147 5153 5167 5171 5179

5189 5197 5209 5227 5231 5233

5237 5261 5273 5279 5281 5297

5303 5309 5323 5333 5347 5351

5381 5387 5393 5399 5407 5413

5417 5419 5431 5437 5441 5443

5449 5471 5477 5479 5483 5501

5503 5507 5519 5521 5527 5531

5557 5563 5569 5573 5581 5591

5623 5639 5641 5647 5651 5653

5657 5659 5669 5683 5689 5693

5701 5711 5717 5737 5741 5743

5749 5779 5783 5791 5801 5807

5813 5821 5827 5839 5843 5849

5851 5857 5861 5867 5869 5879

5881 5897 5903 5923 5927 5939

5953 5981 5987 6007 6011 6029

6037 6043 6047 6053 6067 6073

6079 6089 6091 6101 6113 6121

6131 6133 6143 6151 6163 6173

6197 6199 6203 6211 6217 6221

6229 6247 6257 6263 6269 6271

6277 6287 6299 6301 6311 6317

6323 6329 6337 6343 6353 6359

6361 6367 6373 6379 6389 6397

6421 6427 6449 6451 6469 6473

6481 6491 6521 6529 6547 6551

6553 6563 6569 6571 6577 6581

6599 6607 6619 6637 6653 6659

6661 6673 6679 6689 6691 6701

6703 6709 6719 6733 6737 6761

6763 6779 6781 6791 6793 6803

6823 6827 6829 6833 6841 6857

6863 6869 6871 6883 6899 6907

6911 6917 6947 6949 6959 6961

6967 6971 6977 6983 6991 6997

7001 7013 7019 7027 7039 7043

7057 7069 7079 7103 7109 7121

7127 7129 7151 7159 7177 7187

7193 7207 7211 7213 7219 7229

7237 7243 7247 7253 7283 7297

7307 7309 7321 7331 7333 7349

7351 7369 7393 7411 7417 7433

7451 7457 7459 7477 7481 7487

7489 7499 7507 7517 7523 7529

7537 7541 7547 7549 7559 7561

7573 7577 7583 7589 7591 7603

7607 7621 7639 7643 7649 7669

7673 7681 7687 7691 7699 7703

7717 7723 7727 7741 7753 7757

7759 7789 7793 7817 7823 7829

7841 7853 7867 7873 7877 7879

7883 7901 7907 7919 7927 7933

7937 7949 7951 7963 7993 8009

8011 8017 8039 8053 8059 8069

8081 8087 8089 8093 8101 8111

8117 8123 8147 8161 8167 8171

8179 8191 8209 8219 8221 8231

8233 8237 8243 8263 8269 8273

8287 8291 8293 8297 8311 8317

8329 8353 8363 8369 8377 8387

8389 8419 8423 8429 8431 8443

8447 8461 8467 8501 8513 8521

8527 8537 8539 8543 8563 8573

8581 8597 8599 8609 8623 8627

8629 8641 8647 8663 8669 8677

8681 8689 8693 8699 8707 8713

8719 8731 8737 8741 8747 8753

8761 8779 8783 8803 8807 8819

8821 8831 8837 8839 8849 8861

8863 8867 8887 8893 8923 8929

8933 8941 8951 8963 8969 8971

8999 9001 9007 9011 9013 9029

9041 9043 9049 9059 9067 9091

9103 9109 9127 9133 9137 9151

9157 9161 9173 9181 9187 9199

9203 9209 9221 9227 9239 9241

9257 9277 9281 9283 9293 9311

9319 9323 9337 9341 9343 9349

9371 9377 9391 9397 9403 9413

9419 9421 9431 9433 9437 9439

9461 9463 9467 9473 9479 9491

9497 9511 9521 9533 9539 9547

9551 9587 9601 9613 9619 9623

9629 9631 9643 9649 9661 9677

9679 9689 9697 9719 9721 9733

9739 9743 9749 9767 9769 9781

9787 9791 9803 9811 9817 9829

9833 9839 9851 9857 9859 9871

9883 9887 9901 9907 9923 9929

9931 9941 9949 9967 9973

mirurokov.ru

Простое число | Математика | FANDOM powered by Wikia

Просто́е число́ — это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Последовательность простых чисел начинается с

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, бесконечно. (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

Натуральное число, имеющее больше двух делителей, называется составным. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

    Разложение натуральных чисел в произведение простых Править

    Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы (1), представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом (с точностью до порядка следования сомножителей). Таким образом, простые числа — «элементарные строительные блоки» натуральных чисел.

    Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестно полиномиальных алгоритмов факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. (Здесь и далее речь идёт о полиномиальной зависимости времени работы алгоритма от логарифма проверяемого числа, то есть от количества его цифр). На алгоритмической сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA.

    Файл:Eratosthenes.jpg

    Решето Эратосфена — это простой способ нахождения списка простых чисел до некоторого значения. Решето Аткина и решето Сундарама - современные алгоритмы составления последовательного ряда простых чисел до некоторого значения.

    Однако на практике обычно возникает необходимость проверить, является ли число простым, а не получать список простых чисел. Алгоритмы такого рода называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты. Большинство таких алгоритмов являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. Только в 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный алгоритм имеет довольно большую сложность, что затрудняет его практическое применение.

    Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты. Например, для проверки на простоту чисел Мерсенна используется тест Люка — Лемера.

    Сколько существует простых чисел? Править

    Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

    Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

    Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма всех чисел, обратных к простым, расходится.

    Известная теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших $ n $, обозначаемое $ \pi(n) $, растет как $ n/\ln(n) $.

    Наибольшее известное простое Править

    Наибольшим известным простым числом по состоянию на январь 2018 года является $ 2^{77232917} - 1 $. Оно является 50-м известным простым числом Мерсенна. Компьютер волонтёра Джонатана Пейса вычислил его 26 декабря 2017 года. Джонатан — один из тысяч добровольцев, использующих бесплатное ПО GIMPS.

    Новое простое число, также известное как M77232917, вычислено перемножением 77 232 917 двоек и вычитанием единицы. Оно примерно на один миллион разрядов больше, чем предыдущее рекордное простое число, в особом классе исключительно редких простых, известных как числа Мерсенна. Это всего пятидесятое открытое простое число Мерсенна; вычисление каждого последующего становится сложнее.

    Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые. За нахождение простого числа из более чем 107 десятичных цифр EFF назначила награду в 100000 долларов США.

    Некоторые свойства Править

    • Если $ p $ — простое, и $ p $ делит $ a b $, то $ p $ делит $ a $ или $ b $. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
    • Кольцо вычетов $ \mathbb{Z}_n $ является полем тогда и только тогда, когда $ n $ — простое.
    • Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.
    • Если $ p $ — простое, а $ a $ — натуральное, то $ a^p - a $ делится на $ p $ (малая теорема Ферма).
    • Если $ G $ — конечная группа с $ p^n $ элементов, то $ G $ содержит элемент порядка $ p $.
    • Если $ G $ — конечная группа, и $ p^n $ — максимальная степень $ p $, которая делит $ |G| $, то $ G $ имеет подгруппу порядка $ p^n $, называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно $ pk+1 $ для некоторого целого $ k $ (теоремы Силова).
    • Натуральное $ p > 1 $ является простым тогда и только тогда, когда $ (p - 1)! + 1 $ делится на $ p $ (теорема Вильсона).
    • Если $ n > 1 $ — натуральное, то существует простое $ p $, такое, что $ n < p < 2 n $ (постулат Бертрана).
    • Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того,
    $ \lim_{x\to\infty} \sum_{p<x} \frac{1}{p}\ \sim\ \ln \ln x $

    Открытые вопросы Править

    До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел. Например:

    • Проблема Гольдбаха: верно ли, что каждое чётное число больше двух может быть представлено в виде суммы двух простых чисел? Верно ли, что каждое нечётное число больше 5 может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?
    • Простые близнецы — это простые числа, разность между которыми равна 2. Верно ли, что существует бесконечно много простых близнецов?
    • Содержит ли последовательность чисел Фибоначчи бесконечное количество простых?
    • Конечно ли количество простых чисел Ферма (то есть чисел вида $ 2^{2^n}+1 $)?
    • Всегда ли найдется простое число между $ n^2 $ и $ (n + 1)^2 $?
    • Бесконечно ли количество простых вида $ n^2 + 1 $?
    • Гипотеза Буняковского: верно ли, что любой неприводимый целозначный многочлен, НОД всех значений которого равен 1, принимает простые значения сколь угодно много раз?

    Приложения простых чисел Править

    Большие простые числа (порядка $ 10^{300} $) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел.

    • Г. Гальперин, «Просто о простых числах», «Квант», № 4, 1987
    • «Алгоритмические проблемы теории чисел», глава из книги «Введение в криптографию» под редакцией В. В. Ященко
    • О. Н. Василенко, «Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии»
    • А. В. Черемушкин, «Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии»
    • К.Кноп «В погоне за простотой»
    • Б. А. Кордемский Математическая смекалка. - М.:ГИФ-МЛ, 1958.-576 с. (стр. 344-345).
    • Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker's Delight. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 288. ISBN 0-201-91465-4

    Шаблон:Хорошая статья

    af:Priemgetal ang:Frumtæl ar:عدد أولي be-x-old:Просты лік bg:Просто число bn:মৌলিক সংখ্যা br:Niveroù kentael ca:Nombre primer cs:Prvočíslo cy:Rhif cysefin da:Primtalel:Πρώτος αριθμόςeo:Primoet:Algarv eu:Zenbaki lehen fa:اعداد اولgl:Número primo he:מספר ראשוני hr:Prost broj ht:Nonm premyé hu:Prímszámok id:Bilangan prima is:Frumtalaka:მარტივი რიცხვიla:Numerus primus lb:Primzuel lmo:Nümar primm lt:Pirminis skaičius lv:Pirmskaitlis nds:Primtall nl:Priemgetal nn:Primtal no:Primtall pl:Liczby pierwszescn:Nùmmuru primu simple:Prime number sk:Prvočíslo sl:Praštevilo sr:Прост број sv:Primtal ta:பகா எண் th:จำนวนเฉพาะuk:Просте число ur:مفرد عدد vi:Số nguyên tố vls:Priemgetal yi:פרימצאל yo:Nọ́mbà àkọ́kọ́zh-min-nan:Sò͘-sò͘

    ru.math.wikia.com

    примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

    В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

    Простые и составные числа – определения и примеры

    Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

    Определение 1

    Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1.

    Определение 2

    Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

    Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

    Определение 3

    Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

    Определение 4

    Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

    Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1. Дадим определение целых чисел.

    Определение 5

    Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

    Простые числа: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Они делятся только сами на себя  и на 1. Составные числа: 6, 63, 121, 6697. То есть число 6 можно разложить на

    www.zaochnik.com

    Простое число Википедия

    Просто́е число́ (др.-греч. πρώτος ἀριθμός) — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя[1]. Другими словами, число x{\displaystyle x} является простым, если оно больше 1{\displaystyle 1} и при этом делится без остатка только на 1{\displaystyle 1} и на x{\displaystyle x}. К примеру, 5{\displaystyle 5} — простое число, а 6{\displaystyle 6} является составным числом, так как, помимо 1{\displaystyle 1} и 6{\displaystyle 6}, также делится на 2{\displaystyle 2} и на 3{\displaystyle 3}. Основная теорема арифметики устанавливает основную роль простых чисел в теории чисел: любое целое число, больше, чем 1{\displaystyle 1}, является простым или может быть выражено как произведение простых чисел, которое является уникальным с точностью до порядка. Уникальность в этой теореме требует исключения 1{\displaystyle 1} как простого числа, потому что можно включать произвольно много 1 в любое разложение, например, 3{\displaystyle 3}, 1{\displaystyle 1} · 3{\displaystyle 3}, 1{\displaystyle 1} · 1{\displaystyle 1} · 3{\displaystyle 3}, и т. д. являются разложением на множители числа 3{\displaystyle 3}[2].

    Свойство числа быть простым называется простотой. Простой, но медленный метод проверки простоты заданного числа n известен как перебор делителей. Он состоит из проверки того, является ли n

    ru-wiki.ru

    Простые числа — Циклопедия

    Kampus.kz: Математика. Урок 2 - Числа: Простые числа

    Простые числа — в математике, это натуральные числа, большие единицы, которые не делятся ни на одно натуральное число, кроме единицы и самого себя. Обычно простое число обозначается буквой p. Простых чисел бесконечно много. Является ли заданное число N простым можно проверить, последовательно деля его на все натуральные числа, меньшие его (достаточно проверить для чисел 2, 3, …, [math]\sqrt{N}[/math]). Существует также детерминированный полиномиальный алгоритм проверки натурального числа на простоту. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число, большее 1, раскладывается в произведение простых чисел и единственным образом с точностью до порядка сомножителей. Простые числа являются объектом изучения теории чисел и находят практическое использование в современной криптографии.

    По возрастанию простые числа образуют целочисленную последовательность 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, …(последовательность, обозначенная A000040 в энциклопедии целочисленных последовательностей Слоэна).

    Понятие простого числа было введено математиками Древней Греции. В Древней Греции также установили бесконечность множества простых чисел и и понимали факт единственности разложения на простые множители. В Новое время в рамках исследований по теории чисел активно изучался асимптотический закон распределения простых чисел, связанный с дзета-функцией и до сих пор не доказанной и не опровергнутой гипотезой Римана. Во второй половине XX века простые числа стали использоваться в реально применяемых на практике криптографических протоколах. В начале 2000-х годов был найден детерминированный алгоритм проверки натурального числа на простоту за полиномиальное время от длины этого числа.

    [править] Асимптотический закон распределения

    Если обозначить количество простых чисел, меньших [math]x[/math], через [math]\pi(x)[/math], то эта функция асимптотически растет как [math]x/\ln(x)[/math], то есть:

    [math]\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln x} = 1[/math].

    Эквивалентным образом, [math]k[/math]-е простое число по возрастанию [math]p_k[/math] растет асимптотически как [math]k\ln k[/math]:

    [math]\lim\limits_{k \to \infty} \frac{p_k}{k\ln k} = 1[/math].

    Асимптотический закон распределения простых чисел был полностью доказан в 1896 году независимо Адамаром и Валле-Пуссеном с использованием методов теории функций комплексного переменного. В XX веке было найдено доказательство элементарными методами.

    В основе изучения свойств распределения простых чисел лежит дзета-функция Римана:

    [math]\zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},[/math]

    рассматриваемая как функция комплексной переменной [math]s[/math].

    Этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

    Тождество Эйлера иллюстрирует связь дзета-функции Римана с простыми числами:

    [math]\zeta(s) = \prod\limits_p \frac{1}{1 - p^{-s}},[/math]

    где произведение берется по всем простым [math]p[/math].

    С простыми числами связан ряд проблем, на протяжении десятилетий и даже веков не поддающихся решению. Одна из таких проблем — гипотеза Гольдбаха-Эйлера, сформулированная в XVIII веке: любое четное (натуральное) число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута. Более слабый вариант этой гипотезы, согласно которому каждое достаточно большое нечётное (натуральное) число можно представить в виде суммы трёх простых, был доказан в 1937 году И. М. Виноградовым, для всех нечётных натуральных чисел представимость их в виде суммы трех простых доказана в 2013 году перуанским математиком Харальдом Гельфготтом.

    Гипотеза Римана гласит, что все комплексные нули дзета-функции, лежащие в полосе [math]0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1[/math], находятся на прямой [math]\operatorname{Re}\,s = \frac{1}{2}[/math]. Гипотеза Римана была сформулирована в XIX веке Риманом и вплоть до настоящего времени не поддается доказательству. Есть ряд численных экспериментов, свидетельствующих в ее пользу. Доказательство гипотезы Римана привело бы к уточнению закона распределения простых чисел.

    • Решето Эратосфена — простой алгоритм нахождения всех простых чисел, не превышающих заданной границы.

    cyclowiki.org

    Как найти простые числа? :: SYL.ru

    Числа бывают разными: натуральными, естественными, рациональными, целыми и дробными, положительными и отрицательными, комплексными и простыми, нечетными и четными, действительными и др. Из данной статьи можно узнать, что такое простые числа.

    Какие числа называют английским словом “симпл”?

    Очень часто школьники на один из самых несложных на первый взгляд вопросов математики, о том что такое простое число, не знают, как ответить. Они часто путают простые числа с натуральными (то есть числа, которые используются людьми при счете предметов, при этом в некоторых источниках они начинаются с нуля, а в других - с единицы). Но это совершенно два разных понятия. Простые числа - это, натуральные, то есть целые и положительные числа, которые большее единицы и которые имеют всего лишь 2 натуральных делителя. При этом один из этих делителей - это данное число, а второй – единица. Например, три - это простое число, поскольку он не делится без остатка ни на какое другое число, кроме себя самого и единицы.

    Составные числа

    Противоположностью простых чисел являются составные. Они также являются натуральным, также больше единицы, но имеют не два, а большее количество делителей. Так, например, числа 4, 6, 8, 9 и т. д. являются натуральными, составными, но не простыми числами. Как видите – это в основном четные числа, но не все. А вот “двойка” – четное число и “первый номер” в ряду простых чисел.

    Последовательность

    Чтобы построить ряд простых чисел, необходимо совершить отбор из всех натуральных чисел с учетом их определения, то есть нужно действовать методом от противного. Необходимо рассмотреть каждое из натуральных положительных чисел на предмет того, имеет ли оно более двух делителей. Давайте постараемся построить ряд (последовательность), который составляют простые числа. Список начинается с двух, следующим идет три, поскольку оно делится только на себя и на единицу. Рассмотрим число четыре. Имеет ли оно делители, кроме четырех и единицы? Да, это число 2. Значит, четыре не является простым числом. Пять также является простым (оно, кроме 1 и 5, ни на какое другое число не делится), а вот шесть – делится. И вообще, если проследить за всеми четными числами, то можно заметить, что кроме “двух”, ни одно из них не является простым. Отсюда сделаем вывод, что четные числа, кроме двух, не являются простыми. Еще одно открытие: все числа, делящиеся на три, кроме самой тройки, будь то четные или нечетные, также не являются простыми (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.). То же самое касается и чисел, которые делятся на пять и на семь. Все их множество также не является простым. Давайте подведем итоги. Итак, к простым однозначным числам относятся все нечетные числа, кроме единицы и девятки, а из четных – только “два”. Сами десятки (10, 20,... 40 и др.) не являются простыми. Двузначные, трехзначные и т. д. простые числа можно определить, исходя из вышеизложенных принципов: если они не имеют других делителей, кроме их самих и единицы.

    Теории о свойствах простых чисел

    Существует наука, которая изучает свойства целых чисел, в том числе и простых. Это раздел математики, которая называется высшей. Помимо свойств целых чисел, она также занимается алгебраическими, трансцендентными числами, а также функциями различного происхождения, связанными с арифметикой этих чисел. В этих исследованиях, помимо элементарных и алгебраических методов, также используются аналитические и геометрические. Конкретно изучением простых чисел занимается “Теория чисел”.

    Простые числа — “строительные блоки” натуральных чисел

    В арифметике есть теорема, которая называется основной. Согласно ей, любое натуральное число, кроме единицы, можно представить в виде произведения, множителями которого являются простые числа, причем порядок следования множителей единственен, этот означает, что и способ представления единственен. Он называется разложением натурального числа на простые множители. Есть и другое название этого процесса – факторизация чисел. Исходя из этого, простые числа можно назвать “строительным материалом”, "блоками" для построения натуральных чисел.

    Поиск простых чисел. Тесты простоты

    Множество ученых разных времен пытались найти какие-то принципы (системы) для нахождения списка простых чисел. Науке известны системы, которые называются решето Аткина, решето Сундартама, решето Эратосфена. Однако они не дают каких-то существенных результатов, и для нахождения простых чисел используется простая проверка. Также математиками были созданы алгоритмы. Их принято называть тестами простоты. Например, существует тест, разработанный Рабином и Миллером. Его используют криптографы. Также существует тест Каяла-Агравала- Саскены. Однако он, несмотря на достаточную точность, очень сложен в вычислении, что принижает его прикладное значение.

    Имеет ли множество простых чисел предел?

    О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).

    Какое наибольшее простое число?

    Все тот же Леонард Эйлер смог найти самое большое для своего времени простое число. Это 231 – 1 = 2147483647. Однако к 2013 году было вычислено другое наиболее точное самое большое в списке простых чисел – 257885161 – 1. Его называют числом Мерсенна. Оно содержит около 17 миллионов десятичных цифр. Как видите, число, найденное ученым из восемнадцатого века, в несколько раз меньше этого. Так и должно было быть, ведь Эйлер вел данный подсчет вручную, нашему же современнику наверняка помогала вычислительная машина. Более того, это число было получено на факультете математики в одном из американских факультетов. Числа, названные в честь этого ученого, проходят через тест простоты Люка-Лемера. Однако наука не желает останавливаться на достигнутом. Фонд Электронных рубежей, который был основан в 1990 году в Соединенных Штатах Америки (EFF), назначил за нахождение больших простых чисел денежную награду. И если до 2013 года приз полагался тем ученным, которые найдут их из числа 1 и 10 миллионов десятичных чисел, то сегодня это цифра достигла от 100 миллионов до 1 миллиарда. Размер призов составляет от 150 до 250 тысяч долларов США.

    Названия специальных простых чисел

    Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:

    1. Мерссена.

    2. Вудаа.

    3. Ферма.

    4. Каллена.

    5. Прота.

    6. Миллса и др.

    Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:

    1. Люка-Лемера.

    2. Пепина.

    3. Ризеля.

    4. Биллхарта – Лемера – Селфриджа и др.

    Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.

    www.syl.ru

    Простые числа. Определение, примеры

    Простые числа. Определение, примеры.

        Некоторые отличные от 1 числа натурального ряда могут быть разложены в произведение общих множителей. Например:

    6=2*3,         8=2*2*2,         111=3*37.

        Такие числа называются составными. Составные числа не исчерпывают весь натуральный ряд. Нельзя разложить на меньшие множители 2 и 3, 5 и 7 (что было установлено нами ранее), а также числа 239, 701 и многие другие. Подобные числа, т. е. числа, которые нельзя разложить в произведение меньших множителей, называются простыми.

       Самое маленькое натуральное число 1, конечно, не раскладывается в произведение еще меньших множителей. Но 1 находится на особом положении, ведь она делит каждое натуральное число. Считают, что 1 не есть простое число.

        Таким образом, 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Любое же большее 1 натуральное число является или простым, или составным. Среди четных чисел имеется единственное простое- 2. Все остальные простые числа нечетны.

        Интерес к простым числам, возникший в глубокой древности, вероятно еще в школе Пифагора (V в. до н. э.), объясняется тем, что из них с помощью умножения можно построить все натуральные числа. С другой стороны, простые числа обладают рядом загадочных свойств, в течение тысячелетий побуждавших исследователей на многочисленные и часто безуспешные попытки проникновения в их тайны.

        Среди первых 1000 чисел, записываемых одними единицами, простыми будут только

         

        Будет простым число

        а также числа

    21+1=3, 22+1=5, 24+1=17,

    28+1=257, 216+1=65537, 22-1=3,

    23-1=7, 25-1=31, 27-1=127, 213-1=8191.

      

        В начале XVII в. было установлено, что 217-1 и 219-1 просты. В 1722 г. Л. Эйлер после многолетних безуспешных попыток доказал, что 231-1 простое число. К началу нашего века стало известно, что простыми являются числа 289- 1 и 2107- 1. Нужно сказать, что все вычисления с этими числами проводились вручную и требовали не только аккуратности, но и большой изобретательности, ведь, например, число 2127 - 1 записывается 39 цифрами.

        С появлением в 50-е годы нашего века ЭВМ наступила новая эпоха в поисках простых чисел. Было найдено еще 18 простых чисел  2n - 1. Самые большие из них и вообще самые большие из известных простых чисел- это

    2132049-1 и 2216091-1.

        Они были открыты в 1983 и 1985 гг.

        Простые числа ведут себя совершенно не предсказуемо. Они могут собираться группами, как, например,

    17 и 19, 41 и 43, 9*2211+1, 291*21553+1.

        Такие пары соседних простых чисел называются близнецами

    Предполагается, что их бесконечно много. Среди 150000 последовательных чисел, первое из которых есть 108, имеется 601 пара близнецов. В натуральном ряде есть скопления по три числа, например 3163, 3167, 3169 или 32713, 32717, 32719, а вместе с тем и сколь угодно длинные отрезки, не содержащие простых чисел вообще.

     

    zestlessons.narod.ru