Периодические функции Алгебра и начала анализа, 10. Периодические функции примеры решения 10 класс профильный уровень


Периодические функции Алгебра и начала анализа, 10

Периодические функции Алгебра и начала анализа, 10 класс (профильный уровень) А. Г. Мордкович, П. Е. Семёнов 2015 -2016 учебный год

Определение 1 Говорят, что функция y = f (x), x ∈ X имеет период Т, если для любого х ∈ Х выполняется равенство f (x – T) = f (x + T). Если функция с периодом Т определена в точке х, то она определена и в точках х + Т, х – Т. Любая функция имеет период, равный нулю при Т = 0 получим f(x – 0) = f(x + 0).

Определение 2 Функцию, имеющую отличный от нуля период Т, называют периодической. Если функция y = f (x), x ∈ X имеет период Т, то любое число, кратное Т (т. е. число вида к. Т, к ∈ Z), также является её периодом.

Доказательство Пусть Т – период функции. Тогда f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2 T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2 T). Аналогично доказывается, что f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) и т. д. Итак, f(x - к. Т) = f(x + к. T)

Наименьший период среди положительных периодов периодической функции называется основным периодом данной функции.

Особенности графика периодической функции Если Т – основной период функции y = f(x), то достаточно: - построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т - выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль оси х на ±Т, ± 2 Т, ± 3 Т и т. д. Обычно выбирают промежуток с концами в точках

Свойства периодических функций 1. Если f(x) – периодическая функция с периодом Т, то функция g(x) = A f(kx + b), где к>0, также является периодической с периодом Т 1= Т/к. 2. Пусть функция f 1(x) и f 2(x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами Т 1 > 0 и Т 2 >0. Тогда при Т 1/Т 2 ∈Q функция f(x) = f(x) +f 2(x) – периодическая функция с периодом Т, равным наименьшему общему кратному чисел Т 1 и Т 2.

Примеры 1. Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 3 и f(0) =4. Найти значение выражения 2 f(3) – f(-3). Решение. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0– 3) =4, f(0) = 4. Подставив полученные значения в выражение 2 f(3) – f(-3), получим 8 - 4 =4. Ответ: 4.

Примеры 2. Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 5, а f(-1) = 1. Найти f(-12), если 2 f(3) – 5 f(9) = 9. Решение Т= 5 F(-1) = 1 f(9) = f(-1 +2 T) = 1⇨ 5 f(9) = 5 2 f(3) = 9 + 5 f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3 T) = f(3) = 7 Ответ: 7.

Используемая литература А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 10 класс. Методическое пособие для учителя

present5.com

Периодические функции (профильный). Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Графики функций

Сложность: лёгкое

1
2. Основной период функции

Сложность: лёгкое

1
3. Графики периодических функций

Сложность: лёгкое

1
4. Периодическая функция с периодом T=2

Сложность: среднее

2
5. Нахождение значения выражения

Сложность: среднее

2
6. Сравнение значений

Сложность: среднее

2
7. Доказательство

Сложность: сложное

3
8. Нахождение периода функции

Сложность: сложное

1
9. Период функции

Сложность: сложное

3

www.yaklass.ru

Обратная функция. Урок алгебры в 10-м классе (профильный уровень)

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательная:

  • формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
  • изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

  • развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
  • овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная:  формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

-определение отсутствующих,

- настрой учащихся на работу, организация внимания;

- сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель - установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1>

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

  1. D(f) = [-4;),E(y) = [0;), 
  2. ни четная, ни нечетная, непериодическая, непрерывная, ограничена снизу;
  3. y=0, при х=0
  4. y>0 при на [-4;0) и на [0;)
  5. возрастает на [-2;-1] и на [0;) убывает на [-4;-2] и на [-1;0]
  6. yнаиб- не существует yнаим=0 при х=0
  7. xmax= -1 ,ymax = 2 xmin = -2, ymin = 1 xmin = 0, ymin = 0
  8. Выпукла вниз на [4;-1], выпукла вверх на [1;), невыпуклая на [-1;1].

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

Вопросы:

  1. Какая функция называется обратимой?
  2. Любая ли функция обратима?
  3. Какая функция называется обратной данной?
  4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
  5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
  6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель - формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

  1. Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х1≠х2- две точки множества Х.
  2. Для определенности пусть х1< х2. Тогда из того, что х1 < х2 следует, что f(х1) < f(х2).
  3. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

 А)

 Б)

Г) y = 2x + 5 

Д) y = -x2 + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y. Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х, при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f -1(y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x).

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

  1. Убедиться, что функция монотонна.
  2. Выразить переменную х через у.
  3. Переобозначить переменные. Вместо х=f -1(y) пишут y=f -1(x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x2, х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Ответ:

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски .

Чтобы получить график функции y=f -1(x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Элементы математического анализа

Ограниченные и неограниченные функции

      Обозначим буквой   X   некоторое множество чисел, входящих в область определения   D ( f )    функции   y = f (x).

      Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной сверху на множестве   X ,   если существует такое число   a ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной снизу на множестве   X ,   если существует такое число   b ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

      Определение 3. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной на множестве   X ,   если существуют такие числа   a    и   b ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

      Определение 4. Функцию   y = f (x)   называют неограниченной сверху на множестве   X ,  если для любого числа   a   существует такой   x   из множества   X ,   для которого выполнено неравенство

      Определение 5. Функцию   y = f (x)   называют неограниченной снизу на множестве   X ,  если для любого числа   b   существует такой   x   из множества   X ,   для которого выполнено неравенство

      Определение 6. Функцию  y = f (x)   называют неограниченной на множестве   X ,  если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

      Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

      Пример 1. Функция   y = x2   (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

Рис.1

      Пример 2. Функция   y = – x2   (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

Рис.2

      Пример 3. Функция   y = x   (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

Рис.3

      Пример 4. Функция   y = arctg x   (рис. 4) ограничена на множестве

Рис.4

Монотонные и строго монотонные функции

      Определение 7. Функцию   y = f (x)   называют возрастающей на множестве   X ,  если для любых чисел и ,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство

      Замечание 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

      Определение 8. Функцию  y = f (x)   называют убывающей на множестве   X ,  если для любых чисел и ,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство

      Замечание 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

      Определение 9. Функцию   y = f (x)   называют строго возрастающей на множестве   X ,  если для любых чисел и ,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство

f (x1) < f (x2)

      Определение 10. Функцию   y = f (x)   называют строго убывающей на множестве   X ,  если для любых чисел и ,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство

f (x1) > f (x2)

      Определение 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными,  строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

      Пример 5. Функция   y  = x2   (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

      Пример 6. Функция   y = – x2   (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

      Пример 7. Функция   y = x   (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

      Пример 8. Функция   y = arctg x   (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

      Определение 12. Функцию   y = f (x) ,   определенную на множестве   X ,  называют четной функцией, если для любого числа   x   из множества   X   число   – x   также принадлежит множеству   X   и выполняется равенство

f (– x) = f (x)

      Определение 13. Функцию   y = f (x) ,   определенную на множестве   X ,   называют нечетной функцией, если для любого числа   x   из множества   X   число   – x   также принадлежит множеству   X   и выполняется равенство

f (– x) = – f (x)

      Пример 9. Функции   y = x2   и   y = – x2   являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции   y = x   и   y = arctg x   являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

      Пример 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

      Утверждение. Любую функцию   y = f (x) ,   определенную на симметричном относительно точки   x = 0   множестве   X ,  можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

      Доказательство. Рассмотрим две функции:

сумма которых равна   f (x) ,   и заметим, что функция   g1 (x)   является четной функцией, а функция   g2 (x)   является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

      Замечание 3. Раскладывая функцию   y = e x   в сумму четной и нечетной функций, получаем:

      Функцию   g1 (x)   называют гиперболическим косинусом и обозначают   ch x :

      Функцию   g2 (x)   называют гиперболическим синусом и обозначают   sh x :

      Таким образом, справедливо равенство

e x= sh x + ch x

Периодические и непериодические функции. Период функции

      Определение 14. Число называют периодом функции   y = f (x) ,   если для любого числа   числа   x + T   и   x – T   также принадлежат области определения   D ( f )   и справедливы равенства

f ( x + T ) = f (x) ,     f ( x – T ) = f (x)

      Определение 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

      Замечание 4. Если число   T   является периодом некоторой функции, то и число   kT ,   где   k   – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

      Пример 11. Функции   y = sin x   и   y = cos x   являются периодическими функциями с периодом   2π , функции   y = tg x   и   y = ctg x   являются периодическими функциями с периодом   π .

      Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Свойства тригонометрических функций» → «Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса» нашего справочника.

      Пример 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

      Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат   Oxy .

      Определение 16.  Графиком функции   y = f (x)   называют множество всех точек, координаты которых имеют вид  (x; f (x)) , где  .

      Замечание 5. График четной функции симметричен относительно оси ординат   Oy   (см., например, рис. 1 и рис. 2), график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, рис. 3 и рис. 4).

      Замечание 6. График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс   Ox   на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом   T,   достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс   Ox   длины   T,   а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния   nT ,   где   n   – любое натуральное число.

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Презентация по алгебре "Периодичность функций"

Периодичность функций.

Мальцева М.И.

1. Найдите область определения функции:

y

 

3) [-3;-2) (-2; 4)

1) [-2; 2]

2

1

x

2) [-3;1) (1;4)

 

4) (-2; 2]

-3

4

-2

2. Укажите график нечётной функции:

у

у

у

у

х

х

х

х

1)

2)

3)

4)

2

3. Найдите область значений функции:

а) у = -4cos x

2) [ -4; 0 ]

3) [-4; 4]

4) (∞; ∞)

1) [ -1; 1 ]

б) y = 3sin х/2

3) (-3; 3)

4) [-1; 1]

2) [ -3; 3]

1) [-1,5; 1,5]

в) у =sin x - 2

3) [ -1; 1 ]

2) (-∞; ∞)

4) [ -3; 0]

1) [-3; -1]

г) y = sin 2 x + 3

2) [3;4]

3) [0;4]

4) [ 0; 3]

1) [0;1]

y

1

0

x

-1

у = sin x

T

y

1

0

x

-1

у = cos x

T

Найдите период функции:

y

- 6

x

0

20

14

10

6

2

y

4

8

- 8

- 4

20

16

12

0

x

y

Найдите период функции:

1

0

x

-1

y

2

0

x

Достройте график функции

на промежутке [ -2T; 2,5 T].

y

0

x

3T/2

2,5T

-T/2

T/2

-2T

y

0

x

2,5T

-2T

-T/2

T/2

3T/2

Функция y=f(x) называется периодической , если существует такое число Т0, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство

 

f(x - T) = f(x) = f(x + T)

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называется периодом функции .

Если функция f периодическая и имеет период Т, то функция

Аf (k x + b),

где A, k и b постоянны,

а k ≠ 0, также периодична, причём её период равен

Найдите основной период функции:

а) у= sin 3x

Т = 2π/3

Т = 4π

б) у= cos 0,5 x

в) у= sin (-x/2 + π)

Т = 4π

Найдите наименьший положительный период функции:

а) у= sin 2x

Т = π

б) у= 3 cos (-0,75x)

Т = 8π/3

в) у= sin 4x/5

Т = 5π/2

Т = π

г) у= cos (2x + 2π/7)

videouroki.net

Тема “Функция. Свойства функции” в 10 классе

Краткое описание работы.

Тема “Функция. Свойства функции” рассматривается в 10-м классе в курсе “Алгебра и начала анализа”. Данной темой заканчивается рассмотрение главы “Тригонометрические функции”. Цель данных уроков состоит не только в том, чтобы научиться строить график тригонометрических функций, а так же рассмотреть свойства этих функций. Поэтому рассмотрение данной темы целесообразно проводить, основываясь на свойствах других функций изученных учащимися в 9 классе.

Пояснительная записка.

Место урока в образовательной области и предмете:

- урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе, глава 1 “Функция. Свойства функции”, §14 тема “График гармонического колебания”;

- уроки по физике входит в раздел “Динамика” в 10 классе по теме “Гармонические колебания”, 2 урок.

Тема: Функция. Свойство функции. Преобразование графиков функции.

Цели: Обучающая: совершенствование умений и навыков построения графиков функций, свойств функций, процессов мыслительной деятельности: сравнение, сопоставление, анализ, синтез.

Развивающая: развитие нестандартного, критического и творческого мышления, математической речи, самостоятельности и творческой активности

Воспитательная: содействие раскрытию творческого потенциала, повышению интереса к предмету.

Вид урока: Изучение нового материала.

Тип: Закрепления и усовершенствования знаний и умений (вторичное осмысление материала, воспроизведение и применение полученных знаний для достижения их прочности)

Конструирование урока: на основе модульной технологии

Технология: элементы продуктивного обучения (креативного мышления), уровневой дифференциации, критического мышления, модульного обучения, личностно-ориентированного обучения.

Методы: частично - поисковый, исследовательский, практический, самостоятельная работа.

ФОПД: Интерактивные формы взаимодействия (фронтальная, индивидуальная, работа в парах и творческих группах).

Форма контроля: самоконтроль, взаимоконтроль, контроль со стороны учителя.

Оборудование: карточки устного счета, карточки оперативного контроля.

ТСО: интерактивное оборудование, компьютер.

Мотивация: занимательная форма подачи материала.

Применение знаний: социализация личности школьников

Профиль школы, класса. Урок разработан для учащихся общеобразовательной школы, гуманитарного класса.

Объем урока. 3 часа.

Принцип отбора содержания учебного материала: содержание отобрано в соответствии с возрастными и психологическими особенностями учащихся.

Цели урока:

  1. Научиться строить график тригонометрических функции.

  2. Продолжить формирование умений преобразования графиков элементарных функций.

  3. Изучить динамику преобразования тригонометрических функций.

  4. Показать межпредметную связь областей математики, информатики.

Задачи:

  • Развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся.

  • Показать практическое применение свойств функций.

  • Развитее коммуникативных способностей учащихся.

  • Показать взаимосвязь между основными понятиями алгебры. Тригонометрические изучаются в курсе алгебры 10-го класса. Таким образом, мы создаем своеобразный мостик: изучая понятия в одном курсе 6-9 класс, создаем базу для другого курса 10 классов. А повторяя затем это понятие функций, мы закрепим его на практическом уровне.

Материально-техническое обеспечение урока.

  • компьютер;

  • интерактивная доска;

  • программа Visual Basic 6.0.

  • CD: Алгебра и начала анализа. Версия 2.5. Часть 1.

Актуальность использования ИКТ на уроке:

  • наглядность;

  • небольшие затраты времени на объяснение;

  • новизна представления информации;

  • оптимизация работы учителя при подготовке к уроку;

  • установление межпредметных связей;

  • привлечение учащихся к представлению практической стороны рассматриваемого урока;

  • возможность показа опытов в записи, проведенных учащимися при подготовке к уроку.

Знания, умения и навыки, формируемые на уроке:

  • Умение строить графики элементарных функций.

  • Знать понятия функции, область определения, область значения, четные и нечетные функции, периодические функции.

  • Уметь по графику описывать свойства функции, выполнять лабораторную работу с применением интерактивного оборудования.

  • Умение анализировать условие задачи.

  • Умение обобщать и делать выводы.

  • Умение применять полученные знания в измененной ситуации.

  • Умение выполнять самоанализ, самооценку, самоконтроль и взаимопроверку.

Информационные ресурсы учителя и ученика.

Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11-е кл., автор А.Г. Мордкович. Учебник. Физика 10. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев. Сборник задач по физике для 10–11-х классов. Г.И. Степанова. Дидактические материалы. Физика. А.Е. Марон, Е.А. Марон.

1. Модель урока (1 час)

1.1. Мотивационный этап.

  • Организационный момент: Приветствие и подготовка к уроку.

  • Мотивация.(Страница флипчарта 1) Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

1.2. Активизация знаний учащихся.

В начале урока используется электронный учебник, чтобы систематизировать и обобщить сведения о функциях полученных учащимися в курсах математики 6-9 классах (работа сопровождается электронным учебником).

2. Практическая часть (работа на интерактивной доске).

А) Выбрать из заданных формул функции (аналитический способ задания функции).

Ученик с помощью ручки заполняет таблицу, если шаг его неверен, то формула принимает исходное положение на доске. Учитель просит пояснить учеников почему данная зависимость, записанная формулой не является функцией.

Б) Выбрать на рисунках графики функций (графический способ задания функции).

Аналогично, первому заданию ученик работает с ручкой над выбором правильного ответа. Учитель обращает внимание учеников, что не каждый график является функциональной зависимостью

В) Установить соответствие (возрастание и убывание функции на промежутках).

Учитель ведет диалог с учащимися, выясняет, когда функция возрастает на промежутке и убывает.

Г) Сортировка функций (аналитический способ задания функции). Ученик дает определение: четные, нечетные, ни четные и ни нечетные). Ученик используя инструмент ручка, производит сортировку данных функций.

Д) Сортировка функций (графический способ задания функции).

Е) Область определения функции, определить по графику.

Ж) Область определения функции, установить соответствие между формулой и заданными промежутками.

3. Решение проблемной ситуации.

Затем класс делится на группы, каждой дается индивидуальное задание, целью которых является повторить правила преобразования графиков функций у=х с помощью сжатия (растяжения) и параллельного переноса (используется программа построения графика функции Visual Basic 6.0.) Обратить внимание учащихся, что полученные знания в работе с данной программой помогут им на следующем уроке при построении преобразований синусоиды.

4. Интерактивная лабораторная работа.

1. Затем учащимся предстоит работа на интерактивной доске для различных элементарных функции показать их преобразование и построение на координатной плоскости.

2. По заданному графику функции записать формулу.

5. Творческая работа.

Учитель. На сегодняшнем уроке мы повторили свойства и преобразований графиков элементарных функции. Предлагаю вам самостоятельно составить формулу функции и написать алгоритм построения данного графика функции.

  1. Сообщение учащихся сопровождается флипчартом. Группа учащихся в своем выступлении рассказывает как выполнили данное задание (защита).

  2. Учитель математики. Завершает урок рефлексией.

Вывод: Оцените степень вашего усвоения материала:

      1. усвоил полностью, могу применять

      2. усвоил полностью, но затрудняюсь с применением

      3. усвоил частично

      4. не усвоил

  1. Подводит итоги работы учащихся (отметки), дает пояснение по выполнению домашнего задания

2. Модель урока (2 час)

1. Мотивационный этап.

1.Организационный момент. Психологический настрой.

2.Сообщение темы и цели урока.

3. Побуждение. Проблемный вопрос.

2. Активизация знаний учащихся.

В начале урока проводиться тестирование, с целью выявить качество и уровень овладения знаниями и способами действий, обеспечить их оперативную коррекцию.

3. Изучение нового материала.

Диалогическое общение.

  1. Блиц – опрос.

Свойства функции:

  • Область определения функции

  • Область значения функции

  • Периодичность

  • Четность, нечетность

  • Нули функции

  • Промежутки знакопостоянства

  • Промежутки монотонности

  • Наибольшее (наименьшее) значение функции

  1. Углубление знаний.

Учитель показывает преобразование графиков функций у=sinх с помощью сжатия (растяжения) и параллельного переноса (используется программа построения графика функции Visual Basic 6.0.). Учащиеся делают выводы.

6. Практикум.

Затем учащимся предстоит работа на интерактивной доске для различных тригонометрических функции показать их преобразование и построение на координатной плоскости.

7. Работа в парах (взаимопроверка).

Учащиеся оценивают знания своего товарища.

6. Инструктаж по домашнему заданию.

  • Выделение основного в домашнем задании.

  • Изучение материала по новой теме

  • Выполнение упражнений по новой теме

7. Подведение итогов урока.

  1. Оценивание деятельности учащихся на уроке.

  2. Выставление отметок в журнал

  3. Слово учителю

3. Модель урока (3 час).

1. Мотивационный этап.

  • Организационный момент: Приветствие и подготовка к уроку.

  • Мотивация (Страница флипчарта 1)

2. Творческая работа (защита проекта).

  1. Организация усвоения способов деятельности путем воспроизведения информации и упражнений в ее применении.

  2. Творческое применение знаний и умений при построению графиков тригонометрических функций.

  3. Использование разноуровневого дидактического материала.

3. Итоговая часть. Контроль.

  1. На уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.

  2. Дать самому себе установку: «понять и быть тем первым, который видит ход решения».

4.Рефлексия

  1. Систематизация и обобщение знаний

  2. Анализ усвоение учащихся программного материала

  3. Выставление и корректирование отметок

  4. Анализ проделанной на уроке работы

kopilkaurokov.ru

Конспект урока по математике "Применение понятия периодической функции" 10 класс

РАЗРАБОТКА УРОКА

учителя математики МОУ гимназии № 35 г.о. Тольятти

Батаевой Галины Александровны

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 10

Тема урока: Применение понятия периодической функции

Цели урока:

Образовательная: повторить и закрепить знания учащихся о периоде функции;

сформировать умение применять теоремы о периоде функции.

Развивающая: развивать умение анализировать, умение обобщать;

формировать навыки самостоятельного учебного труда учащихся.

Воспитательная: побуждать учащихся к само- и взаимоконтролю,

воспитывать познавательную активность, самостоятельность.

Тип урока: урок формирования и закрепления знаний , умений и навыков.

Оборудование : ноутбук, проектор, индивидуальные оценочные листы.

Оформление доски: тема урока, дата, задание 1, 2.

Структура урока:

- Индивидуальная проверка домашней работы по готовым ключам (через проектор).

Самооценка.

- Выявление проблемы и постановка целей урока.

- Решение нестандартных задач, составление алгоритма.

- Рефлексия. Самооценка.

- Дифференцированное домашнее задание.

Ход урока:

1 этап

Вводно- мотивационная часть

_____________________________________________________________________________

УВМ1 ( учебно-воспитательный момент )

Задачи:

Форма организации а) установить правильность и осознанность

познавательной деятельности усвоения учащимися понятия периодической

функции;

( ФОПД ) – индивидуальная б) оценить самостоятельно домашнюю работу.

Методы обучения ( МО ) -

наглядно-репродуктивный

Проверка домашней работы ( через проектор ). Слайд 1,2.

    1. Найдите период функции ; ( 3балла.)

    2. Функция у= f (х) –нечетная, периодическая с периодом Т = 8. На отрезке

[0; 4 ] она задана формулой f(х) = 12х – 3х2. Найдите f ( 15). ( 3 балла)

    1. Функция у = f(х) определена на всей числовой прямой, имеет период Т = 3, f(2) = 7. Найдите значение выражения 5f( 11 ) + 2 f ( -1 ) – 6 f ( - 10 ).

( 2 балла)

4*. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

( 5 баллов )

Возьмите оценочные листы и проставьте свои баллы за домашнюю работу .

Фамилия, имя

учащегося

Оцените свою домашнюю работу (предлагается решение по проектору, слайд2).

Всего за домашнюю работу 13 баллов.

Результат УВМ1. Мы повторили определение периодической функции, теоремы о

периоде функции, проверили правильность выполнения домашней

работы, самостоятельно оценили ее.

__________________________________________________________________________

УВМ2 Задачи:

ФОПД – фронтальная а) выявить неверные представления учащихся

МО – наглядно-эвристический о периоде функции, осуществить их коррекцию;

б) выявить учебную проблему и вместе с учениками

определить цель урока.

Вопросы по выполнению домашней работы:

  1. Какие наименьшие положительные периоды у функций y = sin x, y = cos x, y= tg x,

y= ctg x, y= sin 2 x, y = cos 2 x ?. Какая теорема помогает определять периоды сложных функций? Демонстрация слайда 3.

  1. Периодическая четная функция чем отличается от периодической нечетной

функции? (График четной периодической функции симметричен относительно оси

ординат, график нечетной периодической функции симметричен относительно

начала координат)

  1. Почему последняя задача оказалась трудной ? ( Мы такие задачи еще не решали.)

4. Какие типы задач мы уже умеем решать по теме? Демонстрация слайда 4.

1 тип задач ( по определению периодической функции )

Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

2 тип задач ( по теоремам )

Найдите период функции .

3 тип задач ( графически – аналитический метод )

Функция f(х) на промежутке [ 0;2) определяется выражением 8х – 4х2 и является

периодической с периодом 4. Функция g(х) на промежутке [0;4) задается

выражением 4х –х2 – 1 и является периодической с периодом 4. Найдите

количество решений уравнения f(х) = g(х) на отрезке [ 3; 10 ].

4 тип задач ( задача с параметром )

Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

Выявление проблемы и постановка целей урока. Внимание на слайд 5.

Цели урока: повторить и закрепить знания о периоде функции.

уметь применять знания в нестандартных ситуациях.

развивать умение анализировать, умение обобщать

уметь работать самостоятельно.

Результат УВМ2 . Таким образом, мы обнаружили неверные представления у

некоторых учащихся о периоде функции, провели их коррекцию;

мы знаем теоремы о периоде функции, умеем их применять в двух

типах задач;

мы выявили новую учебную проблему, поставили цели урока

___________________________________________________________________

2 этап

Основная часть урока.

___________________________________________________________________________

УВМ1 Задача:

ФОПД – индивидуальная самостоятельное выделение учениками

МО- наглядно-эвристический задач нового типа

Ученикам предлагается набор задач для обсуждения ( разложены на партах цветные листы)

  1. Функция f(х) периодическая с периодом, равным 2. На промежутке [ 0;2 ) эта функция совпадает с функцией у= х2 – 2. Сколько раз пересекаются графики функций у= f(х) и у = 1 на отрезке [ 1;7]?

2. Функция f(х) периодическая, ее наименьший положительный период равен 5.

Определите чему равен наименьший положительный период функции

f(х) + sin .

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

4. Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

5. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является четной и

периодической с периодом 6. На отрезке [0;3] она задана равенством

f (х) = | 2х – 1 | – 2. Найдите количество нулей этой функции на отрезке [ -2; 11] .

Предлагается выбрать нестандартные задачи. Объясните свой выбор.( Задачи 3, 5)

Почему не выбрали вторую задачу? Как она решается? ( Эта задача стандартная , решается по второй теореме о периодических функциях)

Результат УВМ1 . Итак, каждый из вас поработал самостоятельно и определил для

себя нетипичные задачи по теме. Обсудив с классом свой выбор,

мы определили две нестандартные задачи - № 3 и № 5.

_____________________________________________________________________________

УВМ2 Задача:

ФОПД – фронтальная составить алгоритм для решения нового

МО – практически-эвристический типа задач.

Решение задачи № 3 из списка, составление алгоритма.

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен . ( В.8, 2006г. )

Решение задачи ( на доске )

, 2а + 5 0, а - 2,5 .

| 2а + 5 | = 4

а1а2 = 2,25

Ответ: 2,25.

Первое обсуждение с учащимися алгоритма решения задачи.

Решение задачи этого же типа( на доске )

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции равен

( В.8, 2007г. )

= а, а 0 ;

, а2 + 4а – 8,5 0

14 = 4 | а2 + 4а – 8,5 |

7 = 2 | а2 + 4а – 8,5 |

| а2 + 4а – 8,5 | = 3,5

1) 2)

а2 + 4а – 12 = 0 а2 + 4а – 5 = 0

a1 = - 6, a 2 = 2 a1 = - 5, a 2 = 1

a = 2 a = 1

Ответ: 2.

Алгоритм: 1. Определить период функции по теоремам.

2. Приравнять периоды функций

3. Решить уравнение с параметром.

4. Ответить на вопрос задачи.

Результатом УВМ2 является алгоритм решения нового типа задач.

______________________________________________________________________

3 этап

Заключительная часть ( рефлексивно- оценочная )

_________________________________________________________________________

УВМ1 Задача:

ФОПД – индивидуальная организовать выявление результативности

МО - практически-эвристический деятельности учащихся ;

Рефлексия. а) Подведем итоги урока. Внимание на слайд 6.

1 тип задач ( по определению периодической функции )

Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

2 тип задач ( по теоремам )

Найдите период функции .

3 тип задач ( графически – аналитический метод )

Функция f(х) на промежутке [ 0;2) определяется выражением 8х – 4х2 и является

периодической с периодом 4. Функция g(х) на промежутке [0;4) задается

выражением 4х –х2 – 1 и является периодической с периодом 4. Найдите

количество решений уравнения f(х) = g(х) на отрезке [ 3; 10 ].

4 тип задач ( задача с параметром )

Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

Оцените себя по 5-ти бальной системе за каждый тип задач.

Какой тип задач мы еще не научились решать ? (3 тип задач (графически-аналитический метод)).

Этот тип задач мы рассмотрим на уроках повторения, в конце года.

Самое большое 15 баллов. Поставьте баллы в оценочные листы .

б) Определите достигли ли вы поставленной цели урока ( проектор ).

Общее количество баллов за урок – 28 баллов.

«5» - 27 – 28 б.

«4» - 22 – 26 б.

«3» - 17 – 21 б.

Проверим как работал класс и каждый из вас .

На доске появляется запись 27 – 28 б. ( кол-во чел. )

22 – 26 б. ( кол- во чел.)

17 – 21 б. ( кол-во чел. )

Результатом УВМ1 является эта запись, которая показывает уровень работы

класса на данном уроке, а также уровень работы каждого

из учащегося.

____________________________________________________________________________

УВМ2 Задача:

ФОПД - индивидуальная самостоятельно определить уровень своих

МО – стимулирование знаний, умений по теме.

учения

Дифференцированное домашнее задание.

Учащиеся выбирают домашнюю работу по количеству набранных баллов.

Разные варианты печатаются на разных цветных листах ( голубые, желтые, зеленые).

Домашняя работа. 1 вариант. ( 17 – 21 балл )

1. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с

периодом, равным 10. Известно, что f(1) = 1, f(5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ] функция

является линейной. Найдите значение функции f(24).

2. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= sin (( 5a – 13 )x ) равен .

3. Найдите наименьший положительный период функции f(х) = .

Домашняя работа. 2 вариант. ( 22 – 26 баллов )

1. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= cos (( 2a – 11 )x ) равен .

2. Найдите наименьший положительный период функции f(х) = .

3.Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с

периодом, равным 10. Известно, что f(1) = 1, f(5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ] функция

является линейной. Найдите значение функции f(24).

Домашняя работа. 3вариант. ( 27 - 28 баллов )

1. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= sin (( a2 + 6a – 17 )x ) равен .

2. Найдите значение функции f(15), если известно, что функция y= f(х) – нечетная,

имеет период 8 и на отрезке [ 0;4 ] функция имеет вид у= 12х – 3х2.

3. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является четной и периодической

с периодом 4. На отрезке [ -2;0 ] эта функция задана формулой f(х) = 2 - | 2х + 1|

Найдите количество нулей этой функции на отрезке [-8; 3 ].

Результат УВМ2 Самостоятельно выбрано домашнее задание.

Итоги урока: основным результатом урока является алгоритм решения нового

типа задач;

результатом урока является также ваша оценка за урок, которая

показывает насколько качественно усвоен учебный материал .

этапы урока

Задания

Количество баллов

Самооценка

1

Домашняя работа

13

3

1 тип задач

5

2 тип задач

5

4 тип задач

5

«5» - 27-28 баллов

«4» - 22-26 баллов

«3» - 17-21 балл

Итого:

28

doc4web.ru