Формулы радиуса шара через его объем и площадь поверхности. Объем планеты Земля. Объем шара через площадь шара


Шар и его части. Объем, площадь поверхности. |

Рассмотрим понятие таких геометрических тел как шар и его части:

  • шаровой сегмент;
  • шаровой сектор;
  • шаровой слой.

Также представим формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей шара и его частей.

Об элементах шара и понятии “сфера” будет опубликовано в отдельной статье.

Шар. 

Определение.

Шаром называется геометрическое тело, состоящее из точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

Sпов. = 4*π*R2 = π*D2 , где R –  радиус шара,   D – диаметр шара.

В школьной программе объем шара представлен одной формулой:

V = 4/3* π*R3 , где R –  радиус шара.

Учитывая, что диаметр шара вдвое больше радиуса шара, имеем формулу объема шара такую:

V = 1/6 * π* D3, где D – диаметр шара.

Но объем шара может быть задан и другими соотношениями . Опишем их ниже.

Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара:

V = 1/3 R*S, где R –  радиус шара.

А вот теорема Архимеда:

Объем шара в 1,5 раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а поверхность шара – в 1,5 раза меньше полной поверхности того же цилиндра.

V = 2/3 * Vц., где Vц – объем цилиндра.

Sпов. = 2/3 * Sпов. ц. , где Sпов. ц. – полная поверхность цилиндра.

Части шара.

Шаровой сегмент.

Определение.

Шаровой сегмент – это  часть шара, отсекаемая от нее плоскостью.

Кривая поверхность шарового сегмента равна произведению его высоты на длину окружности большого круга шара:

Sсегм. = 2πR* h, где R –  радиус шара, h – высота сегмента.

Еще формула площади поверхности сегмента:

Sсегм. = π*(r2 + h3), где r – радиус основания сегмента, h – высота сегмента.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

V = π* h3 *(R – 1/3*h) = 1/6*π*h(h3 + 3r2), где r – радиус основания сегмента, h – высота сегмента.

Шаровой сектор.

Определение.

Шаровой сектор – часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной – центр шара.

Согласно определению формула площади поверхности шарового сектора выглядит так:

Sшар. сектор = Sбок.конус. + Sшар. сегм.

Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезанная сектором часть шаровой поверхности (S), а высота равна радиусу шара (R):

V = 1/3*R*S = 2/3*π*R2*h, где h – высота шарового сегмента, принадлежащая шаровому сектору.

Шаровой слой.

Определение.

Часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями, называется шаровым слоем, а кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (или зоной).

Sшар. слоя = h*2πR , где R –  радиус шара, h – высота шарового слоя.

Объем шарового слоя:

V = 1/6 * π* h4 +  1/2 * π*(r12 + r22)*h, где r1, r2  – радиусы оснований шарового слоя, h – высота шарового слоя.

repetitor-problem.net

Формулы радиуса шара через его объем и площадь поверхности. Объем планеты Земля

Образование 23 сентября 2018

Шар является симметричной объемной фигурой, свойства которой рассматривают в школьном курсе геометрии в 8 классе. Данная статья посвящена формулам радиуса шара, позволяющим определить эту величину, зная площадь поверхности фигуры или ее объем.

Что такое шар? Основные формулы

С математической точки зрения шар представляет собой совокупность точек в пространстве, которые лежат на некотором определенном расстоянии от некоторой фиксированной точки, называемой центром. Поверхностью этой фигуры является сфера.

Самый простой способ получить шар заключается в следующем: необходимо взять круг и вращать его вокруг оси, проходящей через диаметр. Поскольку рассматриваемое тело ограничено сферической поверхностью, то формулы для ее площади, а также для объема, который она ограничивает, справедливы и для шара. Запишем их:

  • Площадь поверхности шара: S = 4 * pi * R2.
  • Объем шара: V = 4/3 * pi * R3.

В приведенных формулах R - это радиус шара, pi - константа, которая называется числом "Пи", она равна приблизительно 3,1416.

Пользуясь этими выражениями, можно получить соответствующие формулы радиуса шара:

  • Через площадь S:R = 1/2√(S / pi).
  • Через объем V:R = ∛(3V / 4pi).

Приведем еще одно выражение, которое почему-то не рассматривается в школьном курсе, тем не менее оно позволяет вычислить объем шара с точностью 0,03 %, не используя при этом число pi. Оно имеет вид: V = 67 / 16R3. Откуда: R = ∛(16V / 67).

Вычисления объема Земли

Как известно, наша планета не является идеальным шаром. Ее вращение вокруг своей оси за сотни миллионов лет привело к тому, что Земля немного "толще" в экваториальных широтах и немного "тоньше" на полюсах. Соответствующие радиусы равны 6378 и 6357 км. Как видно из этих цифр, они отличаются на небольшую величину (около 0,3 %). Поэтому при рассмотрении Земли в геометрии ее полагают идеальным шаром со средним радиусом 6371 км. Используем это значение и рассчитаем объем нашей голубой планеты.

Воспользуемся формулой объема шара по радиусу. Имеем: V = 4/3 * 3,1416 * 63713 ≈ 1,08 * 1012 км3. Теперь рассчитаем V с помощью формулы без pi, получаем: V = 67 / 16 * 63713 ≈ 1,08 * 1012 км3. То есть мы получили точно такое же значение с точностью до 2-х знаков после запятой.

Источник: fb.ru

Похожие материалы

Компьютеры Как заархивировать файл и уменьшить его объем

Как часто наши догадки и ожидания разбиваются о реалии жизни! Разве мог кто-то подумать, что, впервые появившись в далеких 90-х, архиваторы просуществуют до наших дней. И не просто просуществуют, но продолжат развиват...

Образование Как найти периметр прямоугольника по его сторонам, по его площади и одной стороне, по углу между его диагональю и стороной прямоугольника

Часто в жизни людям нужно найти периметр прямоугольника. Эта проблема возникает, например, в случаях, когда нужно высчитать длину ограды или количество необходимых обоев для оклейки стен в помещении. Правда, в последн...

Образование Как найти площадь квадрата по его стороне и по его диагонали?

Сегодня мало кто не знает, как найти площадь квадрата. Хотя нет, это было уже в далёком вчера… То есть, в то время, когда всем было известно, как вычислить площадь квадрата, ведь сегодня, как бы это ни звучало ...

Искусство и развлечения "Хоть шаром покати": значение фразеологизма и история его появления

Часто люди употребляют в своей речи выражения, смысл которых не всегда ясен для окружающих из-за уже устаревших слов. Но часто у крылатых выражений есть занимательная история появления, благодаря которой можно узнать ...

Автомобили Настройка и ремонт генератора ВАЗ-2109. Генератор ВАЗ: его устройство и принцип действия

На автомобиле ВАЗ-2109 генератор выполнен по классической схеме. Он обеспечивает самое главное в системе электроснабжения – позволяет всем потребителям работать в нормальном режиме, а также заряжает аккумуляторн...

Автомобили ДААЗ 2107: карбюратор, его устройство и регулировка

Владельцы автомобилей типа «Классики» часто сталкиваются с проблемами динамики и расхода топлива. Водители зовут двигатель автомобиля сердцем, а карбюратор можно смело сравнивать с сердечным клапаном. Имен...

Автомобили Газогенераторный автомобиль: его плюсы и минусы

Во времена Второй мировой войны в странах Европы заметно ощущалась нехватка топлива. По этой причине большинство автомобилей стали укомплектовываться специальными газогенераторными системами. Благодаря им машина могла...

Автомобили Очередное пополнение в линейке Nissan: технические характеристики «Ниссан Жук Нисмо», его дизайн и цена

Спортивная версия известного всему миру кроссовера «Ниссан Жук» (Нисмо) изготовляется серийно с 2011 года. Несмотря на свой малый возраст, машина уже успела претерпеть рестайлинг: сейчас в дилерских салона...

Бизнес Tax free - что это такое? Как его оформить и получить?

Сегодня россияне и граждане других стран все чаще путешествуют по заграницам с целью совершения там некоторых покупок. При этом налог на добавленную стоимость они оставляют далеко не в закромах своей Родины. Но давным...

Бизнес Как сменить интернет-провайдера, зачем его менять и как его выбрать?

Современное общество без интернета уже невозможно себе представить, практически во всех офисах, квартирах, организациях им активно пользуются. Уже даже в автобусах, парках, поездах, электричках все сидят в Сети.

monateka.com

Формулы радиуса шара через его объем и площадь поверхности. Объем планеты Земля

Шар является симметричной объемной фигурой, свойства которой рассматривают в школьном курсе геометрии в 8 классе. Данная статья посвящена формулам радиуса шара, позволяющим определить эту величину, зная площадь поверхности фигуры или ее объем.

Что такое шар? Основные формулы

С математической точки зрения шар представляет собой совокупность точек в пространстве, которые лежат на некотором определенном расстоянии от некоторой фиксированной точки, называемой центром. Поверхностью этой фигуры является сфера.

Самый простой способ получить шар заключается в следующем: необходимо взять круг и вращать его вокруг оси, проходящей через диаметр. Поскольку рассматриваемое тело ограничено сферической поверхностью, то формулы для ее площади, а также для объема, который она ограничивает, справедливы и для шара. Запишем их:

  • Площадь поверхности шара: S = 4 * pi * R2.
  • Объем шара: V = 4/3 * pi * R3.

В приведенных формулах R - это радиус шара, pi - константа, которая называется числом "Пи", она равна приблизительно 3,1416.

Пользуясь этими выражениями, можно получить соответствующие формулы радиуса шара:

  • Через площадь S:R = 1/2√(S / pi).
  • Через объем V:R = ∛(3V / 4pi).

Приведем еще одно выражение, которое почему-то не рассматривается в школьном курсе, тем не менее оно позволяет вычислить объем шара с точностью 0,03 %, не используя при этом число pi. Оно имеет вид: V = 67 / 16R3. Откуда: R = ∛(16V / 67).

Вычисления объема Земли

Как известно, наша планета не является идеальным шаром. Ее вращение вокруг своей оси за сотни миллионов лет привело к тому, что Земля немного "толще" в экваториальных широтах и немного "тоньше" на полюсах. Соответствующие радиусы равны 6378 и 6357 км. Как видно из этих цифр, они отличаются на небольшую величину (около 0,3 %). Поэтому при рассмотрении Земли в геометрии ее полагают идеальным шаром со средним радиусом 6371 км. Используем это значение и рассчитаем объем нашей голубой планеты.

Воспользуемся формулой объема шара по радиусу. Имеем: V = 4/3 * 3,1416 * 63713 ≈ 1,08 * 1012 км3. Теперь рассчитаем V с помощью формулы без pi, получаем: V = 67 / 16 * 63713 ≈ 1,08 * 1012 км3. То есть мы получили точно такое же значение с точностью до 2-х знаков после запятой.

fb.ru

Формула объема шара

Шар это геометрическое тело, образованное в результате вращения полукруга на оси своего диаметра.

Вычислить объем шара

 

 

Объем шара можно вычислить по формуле:

 

R – радиус шара

V – объем шара

π – 3.14

Задача:

Найти объем шара радиусом 10 сантиметров.

Решение:

Для того чтобы вычислить объем шара формула используется следующая:

где V – искомый объем шара, π – 3,14, R – радиус.

Таким образом, при радиусе 10 сантиметров объем шара равен:

V

=

4

3

3,14 × 103 = 4186,7

кубических сантиметров.

В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара. Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.

С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара. Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары. С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.

В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение. Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки. Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.

Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений. В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.

Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы. Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка. Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий. Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются.

simple-math.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Стереометрия

Шар, сфера и их части

      Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

      Определение 1. Сферой с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   равно   r   (рис. 1).

      Определение 2. Шаром с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   не превосходит   r   (рис. 1).

Рис.1

      Таким образом, сфера с центром в точке   O   и радиусом   r   является поверхностью шара с центром в точке   O   и радиусом   r.

      Замечание. Радиусом сферы (радиусом шара) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом шара).

      Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

      Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями   (рис. 2).

Рис.2

      Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

      Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

      Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

      Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя.

      Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

      Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Рис.3

      Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

      Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента.

Рис.4

      По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Рис.5

      Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Рис.6

      Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента.

      Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

      В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Формула объема шара через диаметр: объем шарика

Шар это геометрическое тело, образованное в результате вращения полукруга на оси своего диаметра.

Вычислить объем шара

Объем шара можно вычислить по формуле:

R – радиус шара

V – объем шара

π –

Задача:

Найти объем шара радиусом сантиметров.

Решение:

Для того чтобы вычислить объем шара формула используется следующая:

где – искомый объем шара, – , – радиус.

Таким образом, при радиусе сантиметров объем шара равен:

V

=

3,14 × 103 = 4186,7

кубических сантиметров.

В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара.

Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.

С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара. Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары.

С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.

В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение.

Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки.

Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.

Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений.

Совет 1: Как найти площадь и объем шара

В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.

Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы.

Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка. Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий.

Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются.

Сфера — одно из простейших геометрических тел, в котором все точки ее поверхности находятся на одном и том же расстоянии от центра изображения. Расстояние от центра сферы до любой точки на ее поверхности называется радиусом.

Объем мяча

Диаметр шара называется удвоенным радиусом.

Как найти объем шара вокруг его радиуса

Если мы знаем радиус сферы, мы можем легко вычислить ее величину. Для этого умножьте куб на радиус и четверное число Pi, после чего результат будет разделен на три. Формула для определения объема шара по его радиусу выглядит следующим образом: .Для тех, кто забыл, мы помним, что число Pi является фиксированным значением и равно 3.14.

Как найти объем сферы на диаметр

Если диаметр сферы известен из условий задачи, ее объем вычисляется по следующей формуле: , то есть.

число Pi следует умножить на диаметр диаметра, то полученный результат делится на 6.

Как определить массу шара

Масса тела — это физическая величина, указывающая степень ее инертности. Масса физического тела зависит от объема занимаемого пространства и плотности материала, из которого он собирается. Объем тела правильной формы (скажем, бить ) нетрудно рассчитать, и если материал, из которого он изготовлен, также известен, навалом это разрешено быть очень примитивным.

инструкции

первый Укажите сумму бить .

Как рассчитать объем шара

Для этого достаточно знать один из ваших параметров — радиус, диаметр, поверхность и т. Д. Скажите, знаете ли вы диаметр бить (d), его объем (V) разрешается определять, как одна шестая часть продукта с диаметром поднимается в кубе с числом Pi: V = π * d? / 6. Через радиус бить (r) объем выражается как одна треть произведения числа Pi, который в четыре раза увеличивается с радиусом, помещенным в куб: V = 4 * π * r? / 3.

второй подсчитывать наваломбить (m), умножьте его объем с великолепной плотностью вещества (p): m = p * V.

Если это материал бить не однородный, то мы должны взять среднюю плотность. В этой формуле мы заменяем объем бить через его известные параметры, допускается принимать по известному диаметру бить формула m = p * π * d? / 6 и для главного радиуса m = p * 4 * π * r? / 3.

третий Используйте для расчетов, например, типичный калькулятор программного обеспечения, который входит в базовую операционную систему Windows, любую сильную версию, используемую сегодня.

Самый простой способ начать — нажатием win + r, чтобы открыть типичный диалог для запуска программы, затем введите команду calc и нажмите кнопку OK.

В меню «Калькулятор» разверните раздел «Вид» и выберите строку «Инженер» или «Ученый» (в зависимости от используемой версии ОС) — интерфейс этого режима имеет кнопку для ввода номера номера Pi одним щелчком мыши. Операции размножения и деления в этом калькуляторе не обязаны поднимать вопросы, но определять при расчете массы бить будет несколько кнопок с символами x ^ 2 и x ^ 3.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВОДЫ И САНИТАЦИИ

E-mail: [email protected]

Время работы: Пн-Пт с 9-00 до 18-00 (без обеда)

Вычисление объема сферы через радиус или диаметр

Сфера — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, расположенных от центра на некотором расстоянии.

Как рассчитать объем шара

Основной математической характеристикой шара является его радиус.

Количество шара — это количественная характеристика этого числа во Вселенной.

Формула расчета объема шара:

V = 4/3 * π * r 3

или

V = 1/6 * π * d 3

r — радиус сферы;d — диаметр сферы.

См. Также статью о всех геометрических фигурах (линейный 1D, плоский 2D и 3D 3D).

Эта страница является самым простым веб-калькулятором для расчета объема шара по радиусу или диаметру.

С помощью этой программы вы можете рассчитать количество шаров одним щелчком мыши.

vipstylelife.ru

Объем шара

На этом уроке мы дадим определение шара. Выведем формулу для вычисления объёма шара. А затем с её помощью выведем формулу для вычисления площади сферы.

Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое шар.

Определение:

Шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, т.е. не проходящий через центр шара, называется хордой шара.

Понятно, что сечение шара плоскостью есть круг.

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом шара.

Итак, справедлива следующая теорема: объём шара радиуса  равен .

Докажем теорему. Пусть нам дан шар радиуса  с центром в точке . Выберем ось  так, чтобы начало оси совпадало с центром шара.

Тогда отрезок  это есть радиус шара .

Докажем, что объём шара равен .

На оси  отметим произвольную точку  и рассмотрим сечение шара плоскостью проходящее через эту точку перпендикулярно к оси . Заметим, что такое сечение шара плоскостью является кругом с центром в точке .

Отрезок .

Обозначим радиус этого круга через , а его площадь через , где  – абсцисса точки .

Выразим площадь  через  и радиус шара .

Из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора найдём радиус круга. Тогда имеем .

Площадь круга . Заменим радиус круга  выражением . Тогда получаем, что .

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки  на диаметре . Иначе говоря, верна для всех , удовлетворяющих условию .

Так как мы с вами выразили площадь через , то можем вычислить объём шара с помощью основной формулы объёма тела. Вспомним её: объем тела равен .

Итак, применяя основную формулу для вычисления объёмов тел получаем, что объём шара равен .

Этим мы с вами доказали, что объём шара с радиусом равным  можно вычислить по формуле .

Что и требовалось доказать.

Ранее мы с вами без доказательства привели формулу для вычисления площади сферы. Напомню, что площадь сферы можно вычислить по формуле: .

Теперь давайте выведем эту формулу, пользуясь формулой объёма шара.

Итак, рассмотрим сферу радиуса  с центром в точке О и описанный около неё многогранник, имеющий  граней.

Напомним, что многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Занумеруем грани в произвольном порядке и обозначим через  – площадь -й грани.

Затем соединим центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника. При этом получим эн пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами – радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой.

Следовательно, объём -й пирамиды равен , а объём всего описанного многогранника равен: . Где  – площадь поверхности многогранника.

Отсюда получаем: .

Теперь будем неограниченно увеличивать  таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объём  описанного многогранника будет стремиться к объёму шара. В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит , то описанный многогранник содержится в шаре радиуса  с центром в точке .

Но ведь с другой стороны, описанный многогранник содержит исходный шар радиуса . Значит, объём .

Так как выражение  при , то и объем  при  ().

Переходя затем к пределу, получаем, что .

По определению площади сферы , следовательно, .  

Что и требовалось доказать.

Задача: объём шара равен равен  см3. Найдите диаметр шара.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шара.

По условию задачи объём шара равен  см3.

Отсюда видим, что радиус шара равен  (см). Напомним, что диаметр шара вдвое больше его радиуса. Тогда диаметр нашего шара равен  (см).

Запишем ответ.

Задача: радиус шара увеличили в  раза. Во сколько раз увеличился объём шара?

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шара.

Так как по условию задачи радиус исходного шара увеличили в 2 раза, то радиус данного шара будет равен . Подставляя данный радиус в формулу для вычисления объёма шара  видим, что объём исходного шара увеличился в 8 раз. Следовательно, ответ: объём шара увеличился в 8 раз.

Задача: в цилиндр вписан шар. Найдите отношение объёма шара к объёму цилиндра.

Решение: шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах и боковой поверхности цилиндра по окружности большого круга, параллельной основаниям цилиндра. Отсюда следует, что , а высота цилиндра равна .

Объём шара вычисляется по формуле , а объём данного цилиндра можно вычислить по формуле , где  – это площадь основания,  - высота цилиндра. Так как высота данного цилиндра равна двум радиусам, а площадь основания равна , то объём цилиндра равен .

Найдём отношение объёма шара к объёму цилиндра. Получаем, что объём шара относится к объёму цилиндра, как .

Эту задачу называют «Задачей Архимеда». Во времена Архимеда формула объёма шара была неизвестна. Поэтому данная задача считалась очень трудной и, решив ее, Архимед испытал большую радость. На могиле Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и описанного около него цилиндра.

Итоги:

На этом уроке мы дали определение шара. Вывели формулу для вычисления объёма шара. А затем с её помощью вывели формулу для вычисления площади сферы.

 

videouroki.net