3.9. НОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Наименьшее общее делимое


Зачем вводить понятия "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" чисел в школьный курс математики?

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,9 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся средней школы, встречаются в шестом классе. Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети часто путают эти понятия, не понимают, зачем их нужно изучать. В последнее время и в научно-популярной литературе встречаются отдельные высказывания о том, что данный материал нужно исключить из школьной программы. Думаю, что это не совсем верно, и изучать его нужно если не на уроках, то во внеурочное время на занятиях школьного компонента обязательно, так как это способствует развитию логического мышления школьников, повышению скорости вычислительных операций , умению решать задачи красивыми методами.

При изучении темы "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями" мы учим детей находить общий знаменатель двух или более чисел. Например, нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это число 15. Действительно , если числа небольшие, то их общий знаменатель найти легко, зная хорошо таблицу умножения . Кто-то из ребят замечает, что это число является произведением чисел 3 и 5. У детей складывается мнение, что всегда таким образом можно найти общий знаменатель для чисел. К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили уже большое число, а если дальше нужно производить какие-то вычисления(особенно это касается примеров на все действия), то вероятность ошибки возрастает. А вот найденное наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом случае равнозначно наименьшему общему знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит вычисления и приведет к более быстрому решению примера, а тем самым сэкономит время, отведенное на выполнение данного задания, что играет немаловажную роль при выполнении итоговых тестовых, контрольных работ, особенно во время итоговой аттестации.

При изучении темы "Сокращение дробей" можно двигаться последовательно деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, используя при этом признаки делимости чисел, получив в конечном итоге несократимую дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344. Разделим сначала числитель и знаменатель дроби на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим числитель и знаменатель полученной дроби на 2, получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и знаменатель дроби на 2 , получим несократимую дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить гораздо проще , если мы найдем наибольший общий делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив числитель и знаменатель дроби на это число, получим сразу несократимую дробь.

Нужно показать детям разные способы нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем простого перебора. Когда числа становятся больше, можно использовать разложение чисел на простые множители. В учебнике шестого класса (автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:

  • 16 = 2*2*2*2
  • 120 = 2*2*2*3*5

Затем из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не входят в разложение другого числа. Произведение оставшихся множителей и будет являться наибольшим общим делителем этих чисел. В данном случае это число 8. На своем опыте убедилась в том, что детям более понятно, если мы подчеркиваем одинаковые множители в разложениях чисел , а затем в одном из разложений находим произведение подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший общий делитель данных чисел. В шестом классе дети активны и любознательны. Можно поставить перед ними следующую задачу: попробуйте описанным способом найти наибольший общий делитель чисел 343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые множители. И вот здесь можно рассказать им про замечательный способ, придуманный древними греками, позволяющий искать наибольший общий делитель(НОД)без разложения на простые множители. Этот метод отыскания наибольшего общего делителя впервые описан в книге Евклида "Начала". Его называют алгоритмом Евклида. Заключается он в следующем : Вначале делят большее число на меньшее. Если получается остаток, то делят меньшее число на остаток. Если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель (НОД)данных чисел.

Вернемся к нашему примеру и для наглядности запишем решение в виде таблицы.

Делимое Делитель Частное Остаток
343 287 1 56
287 56 5 7
56 7 8 0

Итак, НОД(344,287) = 7

А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель(НОД). В данном примере произведение чисел равно 98441. Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.

Одной из трудных тем в математике является решение текстовых задач. Нужно показать учащимся , как с помощью понятий "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" можно решать задачи, которые порой трудно решить обычным способом. Здесь уместно рассмотреть с учащимися наряду с задачами, предложенными авторами школьного учебника , старинные и занимательные задачи, развивающие любознательность детей и повышающие интерес к изучению данной темы. Умелое владение этими понятиями позволяет учащимся увидеть красивое решение нестандартной задачи. А если у ребенка после решения хорошей задачи поднимается настроение-это признак успешной работы.

Таким образом, изучение в школе таких понятий , как "Наибольший общий делитель(НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)"чисел

- позволяет экономить время, отводимое на выполнение работы, что приводит к значительному увеличению объема выполненных заданий;

- повышает скорость и точность выполнения арифметических операций, что ведет к значительному уменьшению количества допускаемых вычислительных ошибок;

- позволяет находить красивые способы решения нестандартных текстовых задач;

- развивает любознательность учащихся, расширяет их кругозор;

- создает предпосылки для воспитания разносторонней творческой личности.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Математика. НОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

Множество делителей

Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа 140. Очевидно, что у числа 140 не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:

2, 5, 7.

Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:

2∙2 = 4,  2∙5 = 10,  2∙7 = 14,  5∙7 = 35.

Затем — те, которые содержат в себе три простых делителя:

2∙2∙5 = 20,  2∙2∙7 = 28,  2∙5∙7 = 70.

Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:

1, 140.

Все найденные нами делители образуют множество делителей числа 140, которое записывается с помощью фигурных скобок:

Множество делителей числа 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа 140» будем писать «Д(140)». Таким образом,

Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

мы получаем:

Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.

От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел 140 и 105 равны соответственно:

ПД(140) = {2, 5, 7}.

ПД(105) = {3, 5, 7}.

Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа 140 на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД(140) — только один. Множество ПД(140) — это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа 140». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.

Сокращение дробей. Наибольший общий делитель

Рассмотрим дробь

105 / 140.

Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя (105) и делителем знаменателя (140). Взглянем на множества Д(105) и Д(140) и выпишем их общие элементы.

 

Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};

Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

 

Общие элементы множеств Д(105) и Д(140) =

{1, 5, 7, 35}.

 

Последнее равенство можно записать короче, а именно:

Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}.

Здесь специальный значок «∩» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д(105) ∩ Д(140)» читается «пересечение множеств Дэ от 105 и Дэ от 140».

[Заметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение, которое обозначается значком «∪» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:

ПД(105) = {3, 5, 7};

ПД(140) = {2, 5, 7};

ПД(105) ∪ ПД(140) = {2, 3, 5, 7}. ]

Итак, мы выяснили, что дробь

105 / 140

можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству

Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}

и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):

 

 105

 = 

 105/5

 = 

 21

;

 140 

 140/5 

 28 

 

 105

 = 

 105/7

 = 

 15

;

 140 

 140/7 

 20 

 

 105

 = 

 105/35

 = 

 3

.

 140 

 140/35 

 4 

Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число 35, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД) чисел 105 и 140. Это записывается как

НОД(105, 140) = 35.

Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:

НОД(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Отсюда видно, что

НОД(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

55 = 5 ∙ 11.

В этом случае,

НОД(42, 55) = 1.

Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми. Если из таких чисел составить дробь, например,

42 / 55,

то такая дробь является несократимой.

Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:

 a 

 = 

 a / НОД(a, b) 

.

 b

 b / НОД(a, b)

Здесь предполагается, что a и b — натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.

Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное

Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:

   1

 + 

   1

.

 105 

 140 

Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 2 ∙ 2 (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как 105, так и 140) являются делителями числа 420, а число 420, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, — и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК) чисел 105 и 140. Это записывается так:

НОК(105, 140) = 420.

Приглядевшись повнимательнее к разложению чисел 105 и 140, мы видим, что

105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).

Точно так же, для произвольных натуральных чисел b и d:

b ∙ d = НОК(b, d) ∙ НОД(b, d).

Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:

 

   1

 + 

   1

 =

 105 

 140 

 

      1

 + 

      1

 =

 3 ∙ 5 ∙ 7 

 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 

 

         2 ∙ 2

 + 

           3

 =

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 

 

        4 + 3

 = 

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 

 

            7

 = 

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 

 

         1

 =

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 

 

Подобным же образом можно посчитать разность:

 

   1

 − 

   1

 =

 105 

 140 

 

      4

 − 

      3

 =

 105 ∙ 4 

 140 ∙ 3 

 

   4

 − 

   3

 =

 420 

 420 

 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Задачи, где требуется разлагать числа на простые множители

Примечание. Для решения некоторых задач требуется знать, что такое квадрат числа. Квадратом числа a называется число a, помноженное само на себя, то есть a∙a. (Как нетрудно видеть, оно равно площади квадрата со стороной a).

 

 

 

nekin.info

3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства.

Определение. Общим кратным натуральных чисел а и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел.

Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и b условимся обозначать К(а, b). Например, два числа 12 и 18 общими кратными являются: 36, 72, 108, 144, 180 и т.д. Число 36 - наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Можно записать: К(12,18) = 36.

Для наименьшего общего кратного справедливы следующие утверждения:

1. Наименьшее общее кратное чисел а и b всегда существует и является единственным.

2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т.е. если а > b, то К(а, b)  а.

3. Любое общее кратное чисел а и b делится на их наименьшее общее кратное.

Определение. Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел.

Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b называется наибольшим общим делителем данных чисел. Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обозначать D(а, b).

Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1,2,3,6. Число 6 - наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12,8)=6.

Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел а и b. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(а, b) = 1, а числа а и b называются взаимно простыми.

Например, числа 14 и 15 - взаимно простые, так как D (14, 15) = 1.

Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверждения:

1. Наибольший общий делитель чисел а и b всегда существует и является единственным.

2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т.е. если а < b, то D (а, b)  а.

3. Наибольший общий делитель чисел а и b делится на любой общий делитель этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е.

К(а, b)D(а,b)=аb.

Из этого утверждения вытекают следующие следствия:

а) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел, т. е. D(а,b) = 1  К(а,b)=а b.

Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно их перемножить, так как D (14, 15) = 1.

б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на m, и на n.

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

Например, так как 6=2 3 и D(2,3)=1, то получаем признак делимости на 6: для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Заметим, что данный признак можно применять многократно. Сформулируем, например, признак делимости на 60: для того чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 4, и на 15. В свою очередь, число будет делиться на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 5. Обобщая, получаем следующий признак делимости на 60: для того чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, является взаимно простыми числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются вза­имно простыми. Следовательно, D (24, 36)=12.

studfiles.net

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель двух, трех и более чисел

Всякое натуральное число возможно разделить на 1 и на само себя. Числа, которые делятся только на 1 и на себя, называются простыми. Наименьшим простым числом считается 2. Двойка — единственное четное число среди бесконечного множества простых чисел, все остальные простые числа — нечетные. Многие натуральные числа могут делиться без остатка и на другие натуральные числа. Возьмем число 16: помимо 1 и 16 оно делится на 2,4,8. Натуральные числа, у которых больше двух делителей, считаются составными. Делителем натурального числа а является такое число Д, на которое число а делится полностью без остатка. Делители чисел обозначают буквой Д.

У многих натуральных чисел имеются общие делители, т.е числа, на которые оба числа делятся полностью. Наибольшим общим делителем 2-х чисел является наибольшее число, на которое эти числа будут делится нацело. Наибольший общий делитель 2-х чисел a, b можно записать как НОД(a, b). В том случае, если НОД 2-х и более чисел равняется 1, их считают взаимно простыми.

Для определения НОД 2-х (и более) чисел следует:

  • разложить делители двух чисел на простые множители;
  • выделить одинаковые простые множители в каждом из чисел;
  • вычисляем произведение этих множителей, что и является НОД двух чисел.

Есть два способа записи нахождения НОД: в столбик и в строчку.

Например, разложим делители 14 и 16 на простые множители:делитель 14 раскладывается на 1, 2, 7,14делитель 16 разложим на 1, 2, 4, 8,16Д (14; 16) равняется {1, 2}, тогда НОД (14; 16) = 2.

Определить НОД двух чисел возможно, применив алгоритм Евклида.

Для этого записываем заданные нам числа в уменьшающейся последовательности, т.е. впереди записываем максимальное число, за ним — минимальное. Затем записываем остаток, полученный от деления первого числа на второе. Следующим шагом будет деление заданного меньшего числа на полученный остаток. Если вновь получили остаток, то первый остаток делим на второй. Деление продолжается, пока последний член последовательности не будет равен 0. Последнее число в этой последовательности, стоящее перед 0, и является НОД двух чисел. В данном случае применяется рекурентная формула для НОД:

НОД (a, b) = НОД (b, a mod b)

в данном выражении a mod b — остаток от деления двух чисел a на b.

Наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел

Для совершения операций с дробями, имеющими разные знаменатели, их нужно приводить к общему знаменателю, для чего требуется определить наименьшее общее кратное, которое обозначается как НОК. Кратным числа а считается число, которое делится на заданное число полностью, без остатка. К примеру, числами, кратными 5, будут 10, 15, 20... Чисел, кратных числу а (в нашем случае — 5) бесконечно много, в то же время делителей числа а — конечное количество. В нашем случае делители: 5, 1. Общим кратным 2-х и более натуральных чисел будет число, которое разделится на оба числа полностью, без остатка. НОК для этих чисел является наименьшее число, которое поделится само без остатка на каждое из заданных чисел.

Есть несколько способов нахождения НОК.

1-й способ:

  • раскладываем заданные числа на простые множители;
  • выписываем в строчку все простые множители из разложения одного самого большого числа;
  • дописываем в это разложение другие множители из разложения 2-го числа, не вошедшие в разложение первого числа;
  • перемножив выписанные множители мы получим наименьшее число, которое поделится без остатка на заданные числа. Это будет НОК наших чисел.

2-й способ применяется для небольших чисел:

  • вначале выписываем в строчку поотдельности кратные числа для каждого заданного числа;
  • выбираем среди них наименьшее общее кратное для обоих чисел. Буквой К обозначается кратное числа.

Следует запомнить, что НОК взаимно простых чисел, у которых отсутствуют общие простые делители, равняется произведению этих чисел.Если одно число делится полностью без остатка на другие, НОК этих чисел равняется этому числу.

Чтобы быстро и правильно рассчитать НОК и НОД 2-х и более чисел воспользуйтесь онлайн калькулятором.

Нахождение НОК и НОД

infofaq.ru

Наибольший общий делитель, Наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель

Общим делителем нескольких чисел называется число, служащее делителем  для каждого из них. Например, числа 12, 18, 30 имеют общий делитель 3; число 2 — тоже их общий делитель. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший, в нашем примере — число 6. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).

Примеры. Для чисел 16, 20, 28 НОД есть 4; для чисел 5, 30, 60, 90 НОД есть 5.

Пример 1. Найти НОД чисел 252, 441, 1080. Разлагаем на простые множители

252 = 22 · 32-7;  441 = 32 · 72; 1080 = 23 · З2 · 5.

Общим для чисел является только простой множитель 3; наименьший из показателей, с которыми он входит в данные числа, есть 2. НОД равен З2 = 9.

Пример 2. Найти НОД чисел 234, 1080, 8100.

234 = 2 · З2-13; 1080 = 23 · З2 · 5;   8100 = 22 · З4 · 52.     НОД = 2 · 32 = 18.

Может случиться так, что простых множителей, общих для всех данных чисел, не будет вовсе. Тогда наибольший общий делитель есть 1. Например, для чисел 15 = 3 · 5, 10 = 2 · 5, 6 = 2 · 3 НОД = 1.  Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми. Например, 15 и 22 взаимно простые числа.

 

Наименьшее общее кратное

Общим кратным нескольких чисел называется число, служащее кратным  для каждого из них. Например, числа 15, 6, 10 имеют общее кратное 180; число 90 — также общее кратное этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае число 30. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК). Для небольших чисел НОК находится легко по догадке. Если числа большие, поступаем так: разлагаем данные числа на простые множители; выписываем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел; каждый извзятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в данные числа. Производим умножение.

Пример 1. Найти НОК чисел 252, 441, 1080.

Разлагаем на простые множители: 252 = 22 · З2 · 7;  441 = З2 · 72; 1080 = 23 · З3 · 5. Перемножаем 23 · З3 · 72 х 5. НОК = 52 920.

Пример 2. Найти НОК чисел 234, 1080, 8100               НОК = 23 · З4 · 52 · 13 = 210 600.

 

ibrain.kz