§4. Определение кривизны траектории точки по движению. Кривизна траектории


Радиус кривизны траектории

В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из  задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.Задача 1. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:

   

Откуда :

   

То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.

К задаче 1

Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому

   

Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: и . Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:

   

Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды.Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной . По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:

   

   

   

Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси :

   

Определим полную скорость тела в момент времени :

   

Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:

   

А можно было сразу и косинус найти:

   

Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:

   

Ответ: м, м, м.

 

Задача 2. Под каким углом к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли?Запишем условие задачи так: а) , б).а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения:

   

Определим теперь радиус кривизны в вершине:

   

По условию :

   

   

   

   

   

б) Мы уже определили , осталась максимальная высота подъема.

   

Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:

   

   

   

Приравниваем и :

   

Откуда .

   

   

   

Ответ: а) , б) .

easy-physic.ru

Кривизна траектории.

Докажем теорему:

Производная от единичного вектора касательной

По криволинейной координате S равна по модулю кривизне траектории в данной (.) и направлена по главной нормали в сторону вогнутости.

К-кривизна траектории.

ρ – радиус кривизны траектории в данной (.)

Ускорение точки

Скорость в общем случаи изменяется по модулю и по направлению.

Мерой изменения скорости (.) с течением времени является ускорение (.) ( )

А) Векторный способ задания движения

 

Движение задано

V

м

м1 v1

 

o

v

∆v

V1 vcр

 

Найдем приращение скорости

∆ за ∆t

Если - получим среднее ускорение (.) за этот промежуток.

Q = . (имеет направление ) т.к. в сторону вогнутости кривой

Lim получим

Предельное значение аср при t→0 так же направлены внутрь вогнутости кривой.

В) Координатный способ задания движения

x=x(t), y=y(t), z=z(t)

a =

v = vx*i+vy*y+vi*k, r = xi+yi+kz

проектируя на координаты оси

аx = Wx = vx = x

аy = Wy = vy = y

аz = Wz = vz = z

a = axi+ayi+azk а=аxi+ayj+azk

проекция ускорения на декартовых координатах оси выражаются первыми производными от соответствующих проекций скорости ее на те же оси или вторыми производными по времени от соответствующих координат (.)

|a| =

Cos (a,i) = ax/|a|

Cos (a,j) = ay/|a|

Cos (a,k) = az/|a|

c) Естественный способ задания движения.

S = s(t) и траектория

V = vrt, где vt = s =

W = = (vrr) = r + vr = r + vr = r + r +

Следовательно

а = r +

ar = r – касательное ускорение

an = - нормальная состояние ускорения.

а = аr + an

- характеризует изменение скорости по величине

- “ – “ - “ изменение скорости по направлению.

Проектируем (**) на естественной оси

М

W (является алгебраической величиной)

Wн W r (всегда неотрицательная

величина)

 

т.е. вектор ускорения всегда лежит в соприкасающей плоскости

 

Классификация движения (.) по ускорениям ее движения

1) (.) движется прямолинейно и равномерно и ее ускорение =0

2) ≠0, ≠0 происходит изменение направления скорости без изменения модуля.

(.) движение равномерно криволинейно

3) ≠0 (.) движение по прямой неравномерно

Если и совпадают, то движение ускоренное

–“ – “ не совпадают, то замедленное

4) ≠0, ≠0 (.) движется неравномерно и криволинейно.

 

5) Если (W )-const . – то (.) совершает равнопеременное движение.

Wt = = const

Интегрируя при начальных условиях t=0, υ =υ, S=S

V = v0 + wrt

S = s0 + v0t + wR – может иметь + или –

Если проекция укоренения на касит. Равна 0

Wr = =0, то движение называется равномерным

V = v0 = const

S = S0 + vt

Похожие статьи:

poznayka.org

Кривизна и радиус кривизны траектории — КиберПедия

Кривизна кривой где – угол поворота касательной к кривой на участке длиной .

Радиус кривизны - величина, обратная величине кривизны:

Радиус кривизны окружности есть радиус этой окружности; радиус кривизны прямой бесконечно велик. Радиус кривизны измеряется в метрах.

Точка нормали, отстоящая от данной точки траектории в направлении вогнутости кривой на расстояние , называется центром кривизны кривой, соответствующим данной точке кривой. Геометрическое место центров кривизны образует эволюту исходной кривой (evolutus (лат.)– развернутый; voluto – катать, катить). Исходная кривая является эвольвентой относительно своей эволюты (evolventis – разворачивающий).

Если аппроксимировать траекторию на участке (рис. 2) дугой окружности, то её центр лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин хорд и . Предельное положение точки при условии , когда , есть центр кривизны траектории в точке М.

Если с катушки радиуса R сматывать нить, сохраняя отмотанную часть прямой, то конец нити опишет эвольвенту окружности, соответствующую той точке, с которой начал сматываться конец нити. На рис. 3,а изображена эвольвента окружности радиуса , соответствующая крайней правой начальной точке при сматывании нити против часовой стрелки. Параметрические уравнения этой эвольвенты

При эта кривая приближается к спирали Архимеда, уравнение которой в полярных координатах .

а б в

Рис. 3. Эвольвента окружности (а). Винтовые линии

 

Зубцы колес большинства зубчатых передач имеют эвольвентный профиль, благодаря чему минимизируется скольжение зубца по зубцу и упрощается изготовление самих зубчатых колес. Основу профилей зубцов составляют эвольвенты («развертки») основных окружностей зацепляющихся колес (см. «Теорию машин и механизмов»).

1.1.15. Естественный (сопровождающий) трехгранник (натуральный триэдр, репер Френе) - трехгранник, ребрами которого служат касательная, нормаль и бинормаль кривой. Орт бинормали определяется как ; тогда и . Соприкасающаяся плоскость проходит через касательную и нормаль. Плоскость, содержащая нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью, а плоскость, содержащая бинормаль и касательную, - спрямляющей. Естественный трехгранник ориентирован в пространстве соответственно форме кривой. При движении точки трехгранник движется вместе с ней, поворачиваясь в пространстве. Угловая скорость натурального триэдра при равномерном движении точки вдоль ее траектории со скоростью, равной единице, называется вектором Дарбу.

Пространственной кривая независимо от её расположения относительно окружающих предметов может быть описана путем задания в каждой точке ее кривизны и кручения (греч. «каппа»).

.

Величина кручения где – угол поворота натурального репера вокруг касательной на участке длиной .

Имеют место формулы Серре – Френе:

, , .

Кривизна – положительный параметр. Кручение «правой» винтовой линии, изображенной на рис. 3, б, положительно. Кручение «левой» (рис. 3, в) – отрицательно.

1.1.16. Равнопеременное движение точки определяется условием ; тогда имеют место формулы:

При равномерном движении .

 

cyberpedia.su

Кривизна - траектория - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Кривизна - траектория

Cтраница 1

Кривизна траектории вообще не постоянна, а меняется от точки к точке.  [1]

Кривизна траектории кометы вблизи Солнца зависит от ее скорости.  [2]

Кривизны хп траектории деформаций являются основными параметрами, характеризующими процесс сложного нагружения, и позволяют классифицировать эти процессы.  [3]

Почему кривизна траектории скважины определяется разной величиной скорости разрушения забоя в диаметрально противоположных направлениях в плоскости искривления скважины.  [4]

Центр кривизны траектории лежит на нормали к кривой на расстоянии R 5.208 см внутри вогнутости кривой. Окружность радиусом R с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.  [5]

Характер кривизны траекторий между крайними волокнами и нейтральным слоем будет различный для разных нагрузок и форм сечения.  [6]

Радиус кривизны траектории в любой точке определяется скоростью электрона и составляющей напряженности поля, перпендикулярной к направлению его движения.  [8]

Радиус кривизны траектории ионов в обоих этих приборах равен 15 еж.  [10]

Радиус кривизны траектории радиоволны обратно пропорционален градит.  [11]

Радиус кривизны траектории частиц R и напряженность магнитного поля Н могут быть непосредственно измерены.  [12]

Радиус кривизны траектории оптической волны составляет примерно 50000 км. В оптическом и ИК диапазонах явление сверхфракции наблюдается реже, чем в радиодиапазоне. Со сверхрефракцией связано явление миража.  [14]

Влияние кривизны траектории точки касания катящегося колеса изучено в настоящее время с достаточной полнотой. Полное решение задачи для случая стержня, лежащего на двух абсолютно жестких опорах, принадлежит Дж. Ему пришла счастливая мысль заменить дифференциальное уравнение уравнением в конечных разностях) и воспользоваться приближенным решением.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Вопрос №2. Криволинейное движение. Нормальное и тангенциальное ускорения. Кривизна траектории

Вопрос №1. Перемещение, скорость, путь, ускорение. Вычисление пройденного пути при равномерном и равноускоренном прямолинейном движении.

Механическим движениемтела называют изменение его положения в пространстве относительно другихтел с течением времени.Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина. ( )

Пройденный путь S равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости. Скорость— векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.Прямолинейным равномерным движением называется механическое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. ( ) Равноускоренным движением называется такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению. ( )

 

Вопрос №2. Криволинейное движение. Нормальное и тангенциальное ускорения. Кривизна траектории.

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии.

Нормальное ускорение, составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по главной нормали к траектории в сторону центра кривизны; Нормальное ускорение называется также центростремительным ускорением. Численно Нормальное ускорение равно v2/r, где v — скорость точки, r — радиус кривизны траектории. При движении по окружности Нормальное ускорение может вычисляться по формуле rw2, где r — радиус окружности, w— угловая скорость вращения этого радиуса. В случае прямолинейного движения Нормальное ускорение равно нулю.

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно направлено при замедленном. Характеризует изменение модуля скорости.

Принято описывать траекторию материальной точки при помощи радиус-вектора, направление, длина и начальная точка которого зависят от времени. При этом кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны, находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях. При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны, направленном к дуге из мгновенного центра поворота, находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. При том прямая линия рассматривается как предельный случай кривой, радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности.И потому траектория в общем случае может быть представлена как совокупность сопряжённых дуг.

 

studopedya.ru

Определение кривизны траектории точки по движению

Перейти к оглавлению на странице: 256

ускорения. Используя результаты предыдущего параграфа, выписываем следующую цепочку формул для вычисления K, %:

p

v = (x˙ (t))2 + (y˙(t))2 + (z˙(t))2,

p

 

 

 

 

 

 

(4.1)

w = (¨x(t))2 + (¨y(t))2 + (¨z(t))2,

 

 

 

p

 

 

 

 

wτ = v,˙ wn = w2 − wτ 2 = v2/%,

(4.2)

K = v−2p

 

, % = K−1.

(4.3)

w2 − wτ 2

Пусть теперь движение точки задано тройкой криволинейных координат скалярных функций q1(t), q2(t), q3(t), а v = v(t), w = w(t) попрежнему модули ее скорости и ускорения. В предположении, что эта система координат ортогональна, и используя формулы(1.5),(2.2) для проекций скорости и ускорения точки, получаем:

vqm = Hqm q˙m, wqm = Hqm −1Eqm (T ), m = 1, 2, 3,

(4.4)

p

v = (vq1 (t))2 + (vq2 (t))2 + (vq3 (t))2,

(4.5)

p

w = (wq1 (t))2 + (wq2 (t))2 + (wq3 (t))2,

теперь по формулам (4.2),(4.3) можно вычислить величины K, %.

§5. Два примера движения точки

Мы рассмотрим примеры, которые позволят сопоставить известные со школы факты с введенными выше понятиями.

Прямолинейное движение

Так называют движение точки, траектория которой лежит на прямой. Начало системы Oxyz поместим на этой прямой, а ось x направим вдоль нее. Тогда получим уравнение траектории:

и, как следствие, формулы:

v2 = (x˙ (t))2 + (y˙(t))2 + (z˙(t))2 = (x˙ (t))2,

(5.2)

w2 = (¨x(t))2 + (¨y(t))2 + (¨z(t))2 = (¨x(t))2,

studfiles.net

кривизна траектории - это... Что такое кривизна траектории?

 кривизна траектории

 

кривизна траектории — [А.С.Гольдберг. Англо-русский энергетический словарь. 2006 г.]

Тематики

  • энергетика в целом

Справочник технического переводчика. – Интент. 2009-2013.

  • кривизна ствола
  • кривизна фронта волны

Смотреть что такое "кривизна траектории" в других словарях:

  • кривизна траектории — trajektorijos kreivis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. path curvature vok. Bahnkrümmung, f rus. кривизна траектории, f pranc. courbure de la trajectoire, f; courbure de trajet, f …   Fizikos terminų žodynas

  • КРИВИЗНА — собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства и др.) от соответствующих объектов (прямая, плоскость,… …   Математическая энциклопедия

  • Траектория материальной точки — Траектории трёх объектов (угол запуска  70°, Distance  расстояние, Height  высота), разное лобовое сопротивление Запрос «Траектория» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Траектория материальной точки   линия в… …   Википедия

  • Выстрел в артиллерии — Явление выстрела состоит в том, что при воспламенении заряда в огнестрельном оружии под действием образующихся газов снаряд выбрасывается из канала с большою скоростью; в то же время само оружие вследствие давления газов на дно канала или на… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Выстрел, в артиллерии — Явление выстрела состоит в том, что при воспламенении заряда в огнестрельном оружии под действием образующихся газов снаряд выбрасывается из канала с большою скоростью; в то же время само оружие вследствие давления газов на дно канала или на… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Траектория — Рис.1 Траектории трёх объектов (угол запуска  70°, Distance  расстояние, Height  высота), разное лобовое сопротивление Запрос «Траектория» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Траектория материальной точки   линия …   Википедия

  • ПЛАСТИЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — теория деформируемого пластичного твердого тела, в к рой исследуются задачи, состоящие в определении полей вектора перемещений и( х, t).или вектора скоростей v(x,t), тензора деформации eij( х, t).или скоростей деформации vij(x, t).и тензора… …   Математическая энциклопедия

  • Центральные силы и их поля — Центральная сила сила, линия действия которой при любом положении тела, к которому она приложена, проходит через точку, называемую центром силы (точка на Рис.1). Тело при этом, как правило, рассматривается как материальная точка, а центр также… …   Википедия

  • Деривация — I Деривация (от лат derivatio отведение, отклонение)         боковое отклонение от плоскости стрельбы вращающегося артиллерийского снаряда (пули) при полёте в воздухе. Д. объясняется свойством Гироскопа (волчка), которым обладает вращающийся… …   Большая советская энциклопедия

  • Деривация (отклонение) — Деривация (от лат derivatio ‒ отведение, отклонение), боковое отклонение от плоскости стрельбы вращающегося артиллерийского снаряда (пули) при полёте в воздухе. Д. объясняется свойством гироскопа (волчка), которым обладает вращающийся снаряд. При …   Большая советская энциклопедия

technical_translator_dictionary.academic.ru