Формула площади и радиуса: свойства треугольника, вписанного в окружность. Как в треугольник вписать круг


Как вписать круг в прямоугольный треугольник

Прямоугольным называют треугольник, один из углов которого равен 90°. Как и в всякий иной, в него дозволено вписать круг. Такой круг может быть только один, радиус его определяется длинами сторон, а центр лежит в точке пересечения биссектрис углов. Возвести вписанную окружность дозволено несколькими методами — как с применением формул и вычислений, так и без них.

Вам понадобится

  • Чертеж с треугольником, транспортир, циркуль, линейка, карандаш.

Инструкция

1. Обнаружьте точку, которая будет центром вписанной окружности. Она должна лежать на пересечении биссектрис углов в вершинах треугольника, следственно вначале приложите транспортир к одному из углов, определите его величину и поставьте вспомогательную точку на отметке, равной половине этой величины. Проведите отрезок из вершины этого угла — он должен пройти через вспомогательную точку и закончиться на противолежащей стороне. Таким же методом постройте биссектрису иного угла. Точка пересечения 2-х вспомогательных отрезков будет центром вписанной окружности.

2. Определите радиус круга. Для этого проведите еще один вспомогательный отрезок. Он должен начинаться в обнаруженной точке, заканчиваться на одном из катетов и быть параллельным иному катету. Длина этого отрезка и будет радиусом вписанной окружности — отложите ее на циркуле и начертите круг с центром в обнаруженной точке. На этом построение будет закончено.

3. Дозволено начертить вписанную окружность по-иному — с применением формулы из курса элементарной геометрии. Для этого вам необходимо знать длины всех сторон — измерьте их. После этого рассчитайте радиус (r) — сложите длины катетов (a и b), отнимите от итога длину гипотенузы (c), а то, что получилось, поделите напополам: r = (a+b-c)/2. Отложите обнаруженную величину на циркуле и до конца построения не меняйте этого расстояния.

4. Установите циркуль в вершину прямого угла и начертите вспомогательную дугу — она должна пересекать оба катета. Собственно, только точки пересечения вам и необходимы, следственно взамен дуги дозволено примитивно поставить метки на катетах. Эти метки указывают точки касания вписанной окружности и сторон треугольника.

5. Установите циркуль в всякую из точек касания и проведите два полукруга, лежащих внутри треугольника. Точка их пересечения будет центром вписанной окружности — установите в нее циркуль и проведите вписанный в прямоугольный треугольник круг.

Если окружность касается всех 3 сторон данного треугольника, а её центр находится внутри треугольника, то ее называют вписанной в треугольник.

Вам понадобится

  • линейка, циркуль

Инструкция

1. В всякий треугольник дозволено вписать окружность. Такая окружность будет единственно допустимой.

2. Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.Из вершин треугольника (стороны противоположной делимому углу) циркулем проводят дуги окружности произвольного радиуса до пересечения их между собой;Точку пересечения дуг по линейке соединяют с вершиной делимого угла;Тоже самое проделывают с любым иным углом;

Как вписать треугольник в окружность

3. Радиусом вписанной в треугольник окружности будет отношение площади треугольника и его полупериметра: r=S/p , где S — площадь треугольника, а p=(a+b+c)/2 — полупериметр треугольника.Радиус вписанной в треугольник окружности равноудален от всех сторон треугольника.

Если все вершины треугольника лежат на одной окружности, то в этом случае он именуется вписанным, а окружность, соответственно — описанной вокруг него. Возвести треугольник на знаменитой окружности дюже легко, но как вписать треугольник в круг, если первоначально существует именно он?

Вам понадобится

  • — циркуль;
  • — бумага;
  • — карандаш;
  • — линейка.

Инструкция

1. Для всякого треугольника неизменно допустимо возвести описанную окружность, от того что эта кривая однозначно определяется тремя заданными точками.Дабы это найти, довольно предположить, что треугольник задан декартовыми координатами своих вершин. В этом случае радиус и координаты центра окружности, проходящей через все три точки, обязаны быть решениями системы из 3 уравнений 2-й степени с тремя неведомыми.Эта система будет иметь исключительное решение в том случае, если заданные точки не лежат на одной прямой (в этом последнем случае она совсем не имеет решений). Но три точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, следственно, данный случай дозволено даже не рассматривать. Выходит, решение заведомо существует.

2. Дабы треугольник был вписан в окружность, видимо, требуется, дабы ее центр находился на равном расстоянии от всех 3 его вершин. Задача, таким образом, сводится к нахождению центра описанной окружности.

3. Сторона вписанного треугольника будет являться хордой описанной окружности. Для всякий такой хорды существует перпендикулярный к ней радиус, причем точка их пересечения делит хорду ровно напополам.Следственно, всякий срединный перпендикуляр треугольника (то есть прямая, проходящая через середину его стороны и перпендикулярная ей) проходит через центр описанной окружности. Довольно провести два таких перпендикуляра, и точка их пересечения будет центром. Радиус же описанной окружности однозначно определяется расстоянием до всякий из вершин.

4. Процедура деления отрезка напополам циркулем и линейкой представляет собой, по сути, построение срединного перпендикуляра. Таким образом, задача нахождения центра описанной окружности сводится к делению циркулем и линейкой 2-х сторон треугольника.

5. Если данный треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой его гипотенузы.

Видео по теме

Вписанным именуется такой треугольник, все вершины которого находятся на окружности. Возвести его дозволено, если знать правда бы одну сторону и угол. Окружность именуется описанной, и она будет исключительной для данного треугольника.

Вам понадобится

  • — окружность;
  • — сторона и угол треугольника;
  • — лист бумаги;
  • — циркуль;
  • — линейка;
  • — транспортир;
  • — калькулятор.

Инструкция

1. Постройте окружность с заданным радиусом. Обозначьте ее центр как О. Определите на окружности произвольную точку, с которой вы начнете построение. Пускай это будет точка А.

Начертите окружность и обнаружьте на ней произвольную точку

2. Разведите ножки циркуля на расстояние, равное заданной стороне треугольника. Поставьте иголку в точку А и опрятно поворачивайте циркуль так, дабы его грифель оказался на окружности. Обозначьте точку В и объедините ее с точкой А.

С поддержкой циркуля обнаружьте точку В, отстоящую от точки А на расстояние, равное стороне треугольника

3. От точки А с подмогой транспортира отложите данный угол. Продолжите сторону угла до пересечения с окружностью и поставьте точку С. Объедините точки В и С. У вас получился треугольник АВС. Он может быть всякого типа. Центр окружности у остроугольного треугольника находится внутри него, у тупоугольного — вне, а у прямоугольного — на гипотенузе. Если вам задан не угол, а, скажем, три стороны треугольника, вычислите один из углов по радиусу и знаменитой стороне.

Отложите данный угол, продолжите его сторону до пересечения с окружностью и объедините получившуюся точку с точкой В

4. Гораздо почаще доводится иметь дело с обратным построением, когда задан треугольник и нужно вокруг него описать окружность. Вычислите его радиус. Сделать это дозволено по нескольким формулам, в зависимости от того, что вам дано. Радиус дозволено обнаружить, скажем, по стороне и синусу противолежащего угла. В этом случае он равен длине стороны, поделенной на удвоенный синус противолежащего угла. То есть R=a/2sinCAB. Дозволено его выразить и через произведение сторон, в этом случае R=abc/??(?a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

5. Определите центр окружности. Поделите все стороны напополам и проведите серединам перпендикуляры. Точка их пересечения и будет центром окружности. Начертите ее так, дабы она пересекла все вершины углов.

Определите центр окружности

Две короткие стороны прямоугольного треугольника, которые принято называть катетами, по определению обязаны быть перпендикулярны между собой. Это качество фигуры гораздо облегчает ее построение. Впрочем вероятность верно определить перпендикулярность есть не неизменно. В таких случаях дозволено рассчитать длины всех сторон — они дозволят возвести треугольник единственно допустимым, а следственно верным, методом.

Вам понадобится

  • Бумага, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, угольник.

Инструкция

1. Если требуется начертить прямоугольный треугольник произвольных размеров, то начните с одного из катетов. Поставьте точку, которая будет вершиной 90° угла, и проведите горизонтальную отрезок подходящей длины. После этого из той же точки проведите вертикальный отрезок — 2-й катет. Он должен быть сурово перпендикулярен горизонтальной стороне треугольника .

2. Если применяемая для построения бумага не размечена «в клеточку», то воспользуйтесь угольником для такого построения. Если и его нет, задействуйте транспортир. После этого объедините оба отрезка третьей линией — это будет гипотенуза прямоугольного треугольника . На этом построение будет закончено.

3. Если требуется возвести фигуру с заданными в начальных условиях параметрами, то может понадобиться проведение заблаговременных вычислений. При отсутствии бумаги в клеточку, транспортира и угольника для построения нужно знать длины всех сторон треугольника . Если не все они даны в начальных условиях, то придется по вестимым формулам рассчитать недостающие.

4. При вестимых длинах 2-х катетов длину третьей стороны определите в соответствии с теоремой Пифагора — возведите всякую из длин в квадрат, итоги сложите и извлеките из полученного значения квадратный корень. А если в условиях дана длина гипотенузы и величина одного из острых углов, то вначале воспользуйтесь теоремой синусов дли нахождения длины одного из катетов — умножьте длину вестимой стороны на синус этого угла. После этого с поддержкой теоремы Пифагора определите длину иного катета. Подобно рассчитайте длины при других комплектах начальных данных.

5. Начинайте построение, когда будут рассчитаны длины всех сторон. Поставьте точку в вершине грядущего прямого угла и по линейке проведите отрезок с длиной одного из катетов. После этого отложите на циркуле длину гипотенузы и проведите полукруг с центром в конце этого отрезка — он должен быть направлен в сторону поставленной в начале построения точки.

6. Отложите на циркуле длину второго катета, установите его в ту же исходную точку и подметьте место пересечения начерченного полукруга с воображаемым кругом отмеренного радиуса. После этого объедините подмеченное место с исходной точкой (это будет 2-й катет) и с окончанием проведенного ранее отрезка (это — гипотенуза). На этом построение будет закончено.

Видео по теме

jprosto.ru

Как вписать равносторонний треугольник в окружность

Задачи на геометрические построения весьма хорошо развивают пространственное и логическое мышление и потому являются одной из основных частей школьной программы обучения. Как и в любой предметной области, существуют типовые и нетиповые задачи. К типовым задачам можно отнести, например, построение равностороннего треугольника. В процессе построения треугольник оказывается вписанным в окружность. Но как быть, если нужно вписать равносторонний треугольник в окружность, которая уже построена?

Вам понадобится

  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - циркуль.

Инструкция

  • Постройте хорду заданной окружности. При помощи линейки начертите отрезок так, чтобы он пересекал окружность в двух точках. Пусть это будут точки A и B. Желательно, чтобы эти точки были расположены на достаточном удалении друг от друга.
  • Постройте перпендикуляр, пересекающий отрезок AB и делящий его точкой пересечения на две равные части. Установите между ножками циркуля расстояние, несколько меньшее длины отрезка AB, но заведомо большее длины половины этого отрезка. Установите иглу циркуля в точку A. Вычертите окружность. Установите иглу циркуля в точку B. Вычертите еще одну окружность. Проведите отрезок через точки пересечения вычерченных окружностей так, чтобы он пересек отрезок AB в одной точке (пусть это будет точка C) и первоначальную окружность в двух точках (пусть это будут точки D и E).
  • Постройте перпендикуляр, пересекающий отрезок DE и делящий его точкой пересечения на две равные части способом, аналогичным описанному во втором шаге. Пусть построенный отрезок пересекает окружность в точках F и G, а отрезок DE в точке O. Точка O будет являться центром окружности.
  • Установите расстояние между ножками циркуля равным радиусу окружности. Поместите иглу циркуля в точку D. Поместите конец другой ножки циркуля в точку O.
  • Найдите точки двух углов равностороннего треугольника, вписанного в окружность. Не изменяя положения ножки циркуля с иглой (в точке D) и расстояния между ножками циркуля, установленные на предыдущем шаге, начертите окружность. Эта окружность пересечет первоначальную окружность в двух точках. Пусть это будут точки H и I.
  • Впишите равносторонний треугольник в окружность. Попарно соедините отрезками точки E, H и I. Треугольник со сторонами EH, HI и EI будет равносторонним и вписанным в заданную изначально окружность.

completerepair.ru

Как вписать треугольник в круг

Если все вершины треугольника лежат на одной окружности, то в этом случае он называется вписанным, а окружность, соответственно — описанной вокруг него. Построить треугольник на известной окружности очень просто, но как вписать треугольник в круг, если изначально существует именно он?

Вам понадобится

  • - циркуль;
  • - бумага;
  • - карандаш;
  • - линейка.

Инструкция

  • Для любого треугольника всегда возможно построить описанную окружность, поскольку эта кривая однозначно определяется тремя заданными точками.Чтобы это обнаружить, достаточно предположить, что треугольник задан декартовыми координатами своих вершин. В этом случае радиус и координаты центра окружности, проходящей через все три точки, должны быть решениями системы из трех уравнений второй степени с тремя неизвестными.Эта система будет иметь единственное решение в том случае, если заданные точки не лежат на одной прямой (в этом последнем случае она вовсе не имеет решений). Но три точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, следовательно, этот случай можно даже не рассматривать. Итак, решение заведомо существует.
  • Чтобы треугольник был вписан в окружность, очевидно, требуется, чтобы ее центр находился на равном расстоянии от всех трех его вершин. Задача, таким образом, сводится к нахождению центра описанной окружности.
  • Сторона вписанного треугольника будет являться хордой описанной окружности. Для любой такой хорды существует перпендикулярный к ней радиус, причем точка их пересечения делит хорду ровно пополам.Следовательно, любой срединный перпендикуляр треугольника (то есть прямая, проходящая через середину его стороны и перпендикулярная ей) проходит через центр описанной окружности. Достаточно провести два таких перпендикуляра, и точка их пересечения будет центром. Радиус же описанной окружности однозначно определяется расстоянием до любой из вершин.
  • Процедура деления отрезка пополам циркулем и линейкой представляет собой, по сути, построение срединного перпендикуляра. Таким образом, задача нахождения центра описанной окружности сводится к делению циркулем и линейкой двух сторон треугольника.
  • Если заданный треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой его гипотенузы.

completerepair.ru

Вписанный и описанный треугольник - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Вписанные и описанные треугольники

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

,

где — полупериметр,

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Рисунок к задаче 1

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен a. Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол B — тупой. Значит, он равен 150^{\circ}.

Ответ: 150.

3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Рисунок к задаче 3

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где h — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону AB пополам. По теореме Пифагора найдем h=32. Тогда R=25.

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания C4.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Как построить окружность, вписанную в треугольник

Окружность дозволено вписать в всякий треугольник , само­стоятельно от длины его сторон и величины углов. Алгорифм построения такой окружности дюже примитивен и включает в себя каждого два этапа.

Вам понадобится

  • Циркуль, транспортир, линейка, карандаш

Инструкция

1. Для начала вам надобно обнаружить центр грядущей вписанной окружности. В любом треугольник е он будет находиться в точке пересечения биссектрис. Следственно первым шагом построения окружности будет проведение биссектрис углов вашего треугольник а (довольно задействовать каждого два угла). Для этого вы обязаны будете поделить углы напополам при помощи транспортира и провести из вершин лучи до противолежащих сторон либо примитивно до пересечения друг с ином.

2. Вторым шагом будет определение радиуса вписанной окружности. Для этого из точки пересечения биссектрис необходимо будет провести перпендикуляр к одной (всякий) из сторон треугольник а. Длина полученного отрезка будет равна желанному радиусу. Позже нахождения этой величины дозволено отважно ставить циркуль в точку пересечения биссектрис (центр) и строить окружность надобного радиуса.

3. Если вам требуется не примитивно возвести вписанную окружность, но и обнаружить ее радиус, то это дозволено легко сделать вследствие дальнейшей формуле: r = S : p, где S – площадь треугольник а, а p – его полупериметр (сумма длин всех 3 сторон, поделенная на два).

Около всего треугольника дозволено описать одну-исключительную окружность. Соответственно, треугольник будет вписанным, то есть таким, у которого все вершины лежат на окружности. Начертить такой треугольник дозволено на листе бумаги с подмогой линейки, транспортира и циркуля, а также в программе AutoCAD.

Вам понадобится

  • — бумага;
  • — чертежные инструменты;
  • — параметры треугольника;
  • — компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

1. Вычислите радиус окружности, в которую вам надобно вписать треугольник. Для того дабы начертить сам треугольник, вам нужно знать размеры 3 его сторон, 2-х сторон и ограниченного ими угла, 2-х углов и стороны между ними. Все указанные размеры необходимы для вычисления радиуса. Для построения довольно знать длину стороны и угол либо размеры 2-х сторон.

2. В зависимости от того, что вам вестимо, вычислите радиус. Он равен длине стороны, деленной на удвоенный синус противолежащего угла, то есть R=a/2sin?. Обнаружить его дозволено и как частное от деления произведения всех сторон на учетверенную площадь, то есть R=abc/4S. Знаменатель этой дроби, в свою очередь, дозволено представить как квадратный корень из выражения p(p-2a)(p-2b)(p-2c).

3. Начертите окружность. Обозначьте ее центр как О. Эта же точка будет являться ортоцентром треугольника, то есть точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

4. Проведите радиус и в точке его пересечения поставьте точку А. Это будет одна из вершин треугольника. В любом случаев условиях дана длина одной из сторон. Начертите эту сторону, дабы 2-й конец этого отрезка оказался на окружности. Это комфортнее каждого делать с подмогой циркуля-измерителя. Разведите иголки на заданную длину и подметьте на окружности точку. Объедините ее с вершиной А. Поставьте точку В.

5. Дабы вычертить вторую сторону, верно так же разведите ножки циркуля на длину 2-й стороны, подметьте точку С, объедините ее с вершинами В и А. Проверьте длину стороны СА. Если вы все исполнили верно, то ее длина будет равна заданному размеру.

6. Зная правда бы один угол, построение все равно начните со стороны. От одной из финальных точек отложите данный угол. Проведите через эту новую точку отрезок до пересечения с окружностью. Проверьте его длину. Она должна быть равна длине 2-й стороны. Поставьте точку С. Объедините точки А и С прямой.

7. В программе AutoCAD равносторонний треугольник дозволено вычертить с подмогой инструмента «Многоугольник», выставив в появившемся окошке надобное число сторон. Программа предложит вам предпочесть между вписанным и описанным многоугольниками. Выберите первое. Центр окружности задается координатами либо щелчком мыши по экрану.

8. Неверный треугольник в этой программе дозволено возвести двумя методами. Он может состоять из отдельных отрезков либо быть одной полилинией, у которой совпадают предисловие и конец. Предпочтительнее 1-й метод. Построение немного чем отличается от того, что вы исполняли на бумаге. Начертите окружность заданного радиуса. Обозначьте на ней точку. От этой точки постройте с подмогой инструмента «Линия» отрезок до пересечения с окружностью Дальнейший отрезок расположите по отношению к первому под заданным углом. 3-й отрезок легко соединяет точки пересечения с окружностью 2-х теснее существующих линий. Надобную команду дозволено вызвать через вкладку «Основная» в верхнем меню либо ввести в командную строку команду _line.

Полезный совет Помните, что в всякий треугольник дозволено вписать только одну окружность.

jprosto.ru

как найти круг, вычисление площади и радиуса

Формула площади и радиуса: свойства треугольника, вписанного в окружность

В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления,Но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже.

...

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра. Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).

Свойства треугольника вписанного в окружность

Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла биссектрису, после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя углами?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

  1. Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, у острого – внутри самого треугольника, а для тупоугольного – за ее пределами.
  2. Диаметр любой описанной окр-сти равен половине отношения стороны и синуса угла, который принадлежит ей, в виде формулы можно представить следующим образом:Свойства треугольника вписанного в окружность
  3. Зная радиус описанной окружности и значения углов, можно найти значение площади, не прибегая к использованию длин сторон, по следующей формуле:Свойства треугольника вписанного в окружность

Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.

Свойства треугольника вписанного в окружность

Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

  • площадь;
  • градусная мера каждого угла;
  • длины сторон и периметр.

Свойства треугольника вписанного в окружность

Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, высоты, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Если дан «правильный»

Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке. Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым натуральным числом, скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

Формула площади и радиуса: свойства треугольника, вписанного в окружность

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:

м

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.

Свойства треугольника вписанного в окружность

Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности

Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:

Свойства треугольника вписанного в окружность

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:

Свойства треугольника вписанного в окружность

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:

Свойства треугольника вписанного в окружность

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

Свойства треугольника вписанного в окружность

В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вывод

Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.

uchim.guru

Как вписать в круг равносторонний треугольник

Геометрия. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см., а боковые стороны -18 см. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Вычислить длину отрезка, концы которого совпадают с основаниями высот. Журналист. 07.05.12. Учеба и наука / Математика.

Совет 1: Как вписать равносторонний треугольник в окружность

    Как вписать равносторонний треугольник в окружность Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник Как начертить правильные многоугольники
    — линейка; — карандаш; — циркуль.

Совет 2: Как в окружность вписать правильный треугольник

Как вписать в круг равносторонний треугольник

Ответ здесь

Вопросы и ответы обо всём на свете

Вопросы какой код в handling FBI в гта 4
Вопросы Где смотреть фильмы онлайн бесплатно в хорошем качестве?
Вопросы Что такое металлообработка?
Вопросы Что такое бетоноукладчик?
Вопросы Что такое остеопатия?
Вопросы Что за фирменная двоечка базуки?
Вопросы Когда отрежут Руки базуки?
Вопросы Какой производитель газовых счётчиков лучше?
    HomeБез рубрики Как вписать равносторонний треугольник в окружность?

Как вписать равносторонний треугольник в окружность?

Как вписать равносторонний треугольник в окружность?

Равносторонний треугольник вписывается в окружность очень легко.

Вписать в окружность равносторонний треугольник, впрочем, как и любую другую правильную геометрическую фигуру достаточно легко.

Для того, чтобы вписать в окружность равносторонний треугольник, нам понадобится циркуль, линейка и карандаш.

Сначала необходимо при помощи циркуля начертить окружность нужного нам диаметра. Когда окружность будет вычерчена, через центр окружности, при помощи линейки и карандаша, прочертим линию диаметра нашей окружности. После этого, не изменяя раствора циркуля, из точки пересечения одного конца диаметра с окружностью, сделаем две засечки по обе стороны от диаметра. Это и будут две вершины нашего треугольника. Третьей вершиной будет точка пересечения второго конца диаметра. Соединив при помощи линейки и карандаша эти три точки, мы получим вписаный в окружность правильный треугольник.

Если ставится обратная задача, то есть требуется готовый треугольник вписать в окружность, то надо поступить следующим образом.

Из двух вершин нашего треугольника опустим высоты на противолежащие стороны, то есть опустим на них перпендикуляры. точка пересечения двух высот и будет центром окружности, описывающей треугольник. Теперь установим ножку циркуля в эту точку, а вторую ножку циркуля установим на любую вершину треугольника и этим размером проведем окружность. Она опишет наш треугольник.

Видите, все очень просто!

Равносторонний треугольник вписывается в окружность очень легко.

Вписать в окружность равносторонний треугольник, впрочем, как и любую другую правильную геометрическую фигуру достаточно легко.

Для того, чтобы вписать в окружность равносторонний треугольник, нам понадобится циркуль, линейка и карандаш.

Сначала необходимо при помощи циркуля начертить окружность нужного нам диаметра. Когда окружность будет вычерчена, через центр окружности, при помощи линейки и карандаша, прочертим линию диаметра нашей окружности. После этого, не изменяя раствора циркуля, из точки пересечения одного конца диаметра с окружностью, сделаем две засечки по обе стороны от диаметра. Это и будут две вершины нашего треугольника. Третьей вершиной будет точка пересечения второго конца диаметра. Соединив при помощи линейки и карандаша эти три точки, мы получим вписаный в окружность правильный треугольник.

Если ставится обратная задача, то есть требуется готовый треугольник вписать в окружность, то надо поступить следующим образом.

Из двух вершин нашего треугольника опустим высоты на противолежащие стороны, то есть опустим на них перпендикуляры. точка пересечения двух высот и будет центром окружности, описывающей треугольник. Теперь установим ножку циркуля в эту точку, а вторую ножку циркуля установим на любую вершину треугольника и этим размером проведем окружность. Она опишет наш треугольник.

Видите, все очень просто!

Похожие вопросы

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Как вписать в круг равносторонний треугольник

Совет 1: Как вписать равносторонний треугольник в окружность

    Как вписать равносторонний треугольник в окружность Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник Как начертить правильные многоугольники
    — линейка; — карандаш; — циркуль.

Совет 2: Как в окружность вписать правильный треугольник

как вписать в круг равносторонний треугольник

poiskvstavropole.ru