Как найти проекцию катета на гипотенузу. Как найти проекцию катета на гипотенузу


Проекции катетов на гипотенузу | Треугольники

Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника.

proektsii katetov na gipotenuzuВ треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, BD — проекция катета BC на гипотенузу.

Катеты, их проекции на гипотенузу, гипотенуза и высота прямоугольного треугольника связаны между собой формулами.

1) Свойство высоты, проведенной к гипотенузе.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.

    \[CD = \sqrt {AD \cdot BD} ,\]

или

    \[C{D^2} = AD \cdot BD.\]

2) Свойства катетов прямоугольного треугольника.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

    \[AC = \sqrt {AB \cdot AD} \]

    \[BC = \sqrt {AB \cdot BD} \]

или

    \[A{C^2} = AB \cdot AD\]

    \[B{C^2} = AB \cdot BD.\]

www.treugolniki.ru

Как найти проекцию катета на гипотенузу

Две короткие стороны прямоугольного треугольника называют катетами, а длинную — гипотенузой. Проекции коротких сторон на длинную делят гипотенузу на два отрезка различной длины. Если появляется надобность в вычислении величины одного из этих отрезков, то методы решения задачи целиком зависят от предлагаемого в условиях комплекта начальных данных.

Инструкция

1. Если в начальных условиях задачи приведены длины гипотенузы (С) и того катета (А), проекцию которого (Ас) требуется вычислить, то используйте одно из свойств треугольника. Воспользуйтесь тем, что среднее геометрическое длин гипотенузы и желанной проекции равно длине катета: А = ?(С*Ас). Потому что представление «среднее геометрическое» равнозначно «корню из произведения», то для нахождения проекции катета возводите в квадрат длину катета и разделяете полученное значение на длину гипотенузы: Ас = (А/?С)? = А?/С.

2. Если длина гипотенузы незнакома, а даны лишь длины обоих катетов (А и В), то в вычислении длины требуемой проекции (Ас) дозволено задействовать теорему Пифагора. Выразите в соответствии с ней длину гипотенузы через длины катетов ?(А?+В?) и подставьте полученное выражение в формулу из предыдущего шага: Ас = А?/?(А?+В?).

3. Если вестима длина проекции одного из катетов (Вс) и длина гипотенузы (С), то метод нахождения длины проекции иного катета (Ас) явствен — примитивно отнимите от 2-й вестимой величины первую: Ас = С-Вс.

4. Если длины катетов неведомы, но дано их соотношение (x/y), а также длина гипотенузы (C), то воспользуйтесь парой формул из первого и третьего шагов. Согласно выражению из первого шага, соотношение проекций катетов (Ас и Вс) будет равно соотношению квадратов их длин: Ас/Вс = x?/y?. С иной стороны, согласно формуле из предыдущего шага, Ас+Вс = С. В первом равенстве выразите длину непотребной проекции через необходимую и подставьте полученное значение во вторую формулу: Ас + Ас*x?/y? = Ас*(1 + x?/y?) = С. Из этого равенства выведите формулу нахождения требуемой проекции катета: Ас = С/(1 + x?/y?).

5. Если вестима длина проекции на гипотенузу одного катета (Вс), а длина самой гипотенузы не приведена в условиях, но дана высота (Н), проведенная из прямого угла треугольника, то этого тоже будет довольно для вычисления длины проекции иного катета (Ас). Возведите высоту в квадрат и поделите на длину знаменитой проекции: Ас = Н?/Вс.

Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника . Она расположена противоположно прямому углу. Метод нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от того, какими начальными данными вы владеете.

Инструкция

1. Если вестимы катеты прямоугольного треугольника , то длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть обнаружена с подмогой теоремы Пифагора — квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:с2 = а2 + b2, где а и b – длины катетов прямоугольного треугольника .

2. Если знаменит один из катетов и острый угол, то формула для нахождения гипотенузы будет зависеть от того, какой данный угол по отношению к знаменитому катету – прилежащий (расположенный вблизи катета) либо противолежащий (расположенный наоборот него.В случае прилежащего угла, гипотенуза равна отношению катета на косинус этого угла: с = a/cos?;E угол противолежащий, гипотенуза равна отношению катета на синус угла: с = a/sin?.

Видео по теме

Среднее геометрическое в совокупности применяется реже, чем арифметическое среднее, впрочем оно может быть благотворно при вычислении среднего значения показателей, изменяющихся с течением времени (заработная плата отдельного работника, динамика показателей успеваемости и т.п.).

Вам понадобится

  • Инженерный калькулятор

Инструкция

1. Для того дабы обнаружить среднее геометрическое ряда чисел, для начала надобно перемножить все эти числа. Скажем, вам дан комплект из пяти показателей: 12, 3, 6, 9 и 4. Перемножим все эти числа: 12х3х6х9х4=7776.

2. Сейчас из полученного числа надобно извлечь корень степени, равной числу элементов ряда. В нашем случае из числа 7776 необходимо будет извлечь корень пятой степени при помощи инженерного калькулятора. Полученное позже этой операции число – в данном случае число 6 – будет являться средним геометрическим для начальной группы чисел.

3. Если у вас под рукой нет инженерного калькулятора, то вычислить среднее геометрическое ряда чисел дозволено с подмогой функции СРГЕОМ в программе Excel либо при помощи одного из онлайн-калькуляторов, намеренно предуготовленных для вычисления средних геометрических значений.

Обратите внимание! Если понадобится обнаружить среднее геометрическое каждого для 2-х чисел, то инженерный калькулятор вам не потребуется: извлечь корень 2-й степени (квадратный корень) из всякого числа дозволено при помощи самого обыкновенного калькулятора.

Полезный совет В различие от среднего арифметического, на геометрическое среднее не так крепко влияют крупные отклонения и колебания между отдельными значениями в исследуемом комплекте показателей.

В прямоугольном треугольнике существует два вида сторон – короткая сторона «катет» и длинная сторона «гипотенуза». Если провести проекцию катета на гипотенузу, та разделится на два отрезка. Дабы определить величину одного из них, надобно прописать комплект начальных данных.

Инструкция

1. В начальных данных задачи может быть прописана длина гипотенузы D и длина катета N, чью проекцию требуется обнаружить. Дабы определить величину проекции Nd, воспользуйтесь свойствами прямоугольного треугольника. Определите длину катета A, применяя тот факт, что среднее геометрическое, взятое от длины гипотенузы и проекции катета, равняется желанной величине катета. То есть N = ?(D*Nd).

2. Рассматривая, что корень из произведения обозначает то же самое, что и среднее геометрическое, возведите в квадрат значение N (длину желанного катета), и поделите на длину гипотенузы. То есть Nd = (N/?D)? = N?/D.В начальных данных задачи длина могут быть даны значения только катетов N и T. В этом случае длину проекции Nd находите с поддержкой теоремы Пифагора.

3. Определите длину гипотенузы D, применяя значения катетов ?(N?+T?) и подставьте полученное значение в формулу для нахождения проекции. Для чего Nd = N?/?(N?+T?).

4. Если в начальных данных содержится информация о длине проекции катета Rd и величине гипотенузы D, то длину проекции второго катета Nd вычислите с подмогой примитивной формулы вычитания – Nd = D – Rd.

5. В обстановки, когда знаменито лишь значение длины гипотенузы D и дано примитивное соотношение длин катетов (m/h) обратитесь за поддержкой к формулам из первого шага и третьего шага.

6. Согласно формуле из первого шага примите как факт, что соотношение проекций Nd и Rd приравнивается к соотношению квадратных значений их длин. То есть Nd/Rd = m?/h?. Также сумма проекций катетов Nd и Rd равняется длине гипотенузы.

7. Выразите значение проекции катета Rd через желанный катет Nd и подставьте в формулу суммирования. В итоге вы получите Nd + Nd*m?/h? = Nd*(1 + m?/h?) = D, позже чего выведите формулу нахождения Nd = D/(1 + m?/h?). Значение Nd и укажет величину желанного катета.

Треугольник именуется прямоугольным, если угол одной из его вершин равен 90°. Сторона, которая лежит наоборот этой вершины, именуется гипотенузой, а две другие — катетами. Длины сторон и величины углов в такой фигуре связаны между собой теми же соотношениями, что и в любом ином треугольнике, но потому что синус и косинус прямого угла равны единице и нулю, формулы гораздо упрощаются.

Инструкция

1. Если длины одного из катетов (a) и гипотенузы (с) прямоугольного треугольника знамениты, используйте для вычисления длины третьей стороны (b) теорему Пифагора. Из нее следует, что желанная величина должна быть равна квадратному корню из разности между возведенной в квадрат длиной гипотенузы и квадратом длины знаменитого катета: b = ?(c?-a?).

2. Зная величину угла (?) при вершине треугольника, лежащей наоборот катета знаменитой длины (a), тоже дозволено рассчитать неведомую длину второго катета (b). Для этого примените определение одной из тригонометрических функций — тангенса — для острого угла. Из него вытекает, что желанная длина катета должна быть равна размеру знаменитой стороны, поделенному на тангенс противолежащего угла: b = a/tg(?).

3. Определение котангенса для острого угла используйте для нахождения длины катета (b) в том случае, если в условиях приведена величина угла (?), примыкающего к иному катету вестимой длины (a). Формула в всеобщем виде будет выглядеть примерно так же, как и в предыдущем шаге, замените в ней лишь наименование функции и обозначение угла: b = a/ctg(?).

4. При вестимой длине гипотенузы (c) в вычислениях размеров катета (b) дозволено применять определения основных тригонометрических функций — синуса и косинуса — для острых углов. Если в условиях дана величина угла (?) между этими двумя сторонами, из 2-х функций следует предпочесть косинус. Умножьте длину гипотенузы на косинус знаменитого угла: b = c*cos(?).

5. Определение синуса для острых углов используйте в тех случаях, когда помимо длины гипотенузы (c) дана величина угла (?) в вершине, лежащей наоборот желанного катета (b). Формула расчета в всеобщем виде будет схожа с предыдущей — она должна содержать произведение длины гипотенузы на синус угла заданной величины: b = c*sin(?).

jprosto.ru

Как найти проекцию катета на гипотенузу

Две короткие стороны прямоугольного треугольника называют катетами, а длинную - гипотенузой. Проекции коротких сторон на длинную делят гипотенузу на два отрезка разной длины. Если возникает необходимость в вычислении величины одного из этих отрезков, то способы решения задачи целиком зависят от предлагаемого в условиях набора исходных данных.

Инструкция

  • Если в исходных условиях задачи приведены длины гипотенузы (С) и того катета (А), проекцию которого (Ас) требуется вычислить, то используйте одно из свойств треугольника. Воспользуйтесь тем, что среднее геометрическое длин гипотенузы и искомой проекции равно длине катета: А = √(С*Ас). Так как понятие «среднее геометрическое» эквивалентно «корню из произведения», то для нахождения проекции катета возводите в квадрат длину катета и делите полученное значение на длину гипотенузы: Ас = (А/√С)² = А²/С.
  • Если длина гипотенузы неизвестна, а даны лишь длины обоих катетов (А и В), то в вычислении длины нужной проекции (Ас) можно задействовать теорему Пифагора. Выразите в соответствии с ней длину гипотенузы через длины катетов √(А²+В²) и подставьте полученное выражение в формулу из предыдущего шага: Ас = А²/√(А²+В²).
  • Если известна длина проекции одного из катетов (Вс) и длина гипотенузы (С), то способ нахождения длины проекции другого катета (Ас) очевиден - просто отнимите от второй известной величины первую: Ас = С-Вс.
  • Если длины катетов неизвестны, но дано их соотношение (x/y), а также длина гипотенузы (C), то воспользуйтесь парой формул из первого и третьего шагов. Согласно выражению из первого шага, соотношение проекций катетов (Ас и Вс) будет равно соотношению квадратов их длин: Ас/Вс = x²/y². С другой стороны, согласно формуле из предыдущего шага, Ас+Вс = С. В первом равенстве выразите длину ненужной проекции через нужную и подставьте полученное значение во вторую формулу: Ас + Ас*x²/y² = Ас*(1 + x²/y²) = С. Из этого равенства выведите формулу нахождения нужной проекции катета: Ас = С/(1 + x²/y²).
  • Если известна длина проекции на гипотенузу одного катета (Вс), а длина самой гипотенузы не приведена в условиях, но дана высота (Н), проведенная из прямого угла треугольника, то этого тоже будет достаточно для вычисления длины проекции другого катета (Ас). Возведите высоту в квадрат и разделите на длину известной проекции: Ас = Н²/Вс.

completerepair.ru

Как найти проекцию?

На чертежах изображения геометрических тел строятся при использовании метода проекции. Но для этого одного изображения недостаточно, необходимо минимум две проекции. С помощью них и определяются точки в пространстве. Следовательно, нужно знать, как найти проекцию точки.

Проекция точки

Для этого потребуется рассмотреть пространство двугранного угла, с расположенной внутри точкой (А). Здесь используются горизонтальная П1 и вертикальная П2 плоскости проекций. Точка (А) проецируется на проекционные плоскости ортогонально. Что касается перпендикулярных проецирующих лучей, то они объединяются в проецирующую плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций. Таким образом, при совмещении горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостей путем вращения по оси П2 / П1, получаем плоский чертеж.

Затем перпендикулярно оси показывается линия с расположенными на ней точками проекции. Так получается комплексный чертеж. Благодаря построенным отрезкам на нем и вертикальной линии связи, легко можно определять положение точки относительно проекционных плоскостей.

Чтобы было проще понять, как найти проекцию, необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник. Его короткая сторона является катетом, а длинная – гипотенузой. Если выполнить на гипотенузу проекцию катета, то она поделится на два отрезка. Для определения их величины, нужно выполнить расчет набора исходных данных. Рассмотрим на данном треугольнике, способы расчета основных проекций.

Как правило, в данной задаче указывают длину катета N и длину гипотенузы D, чью проекцию и требуется найти. Для этого узнаем, как найти проекцию катета.

Рассмотрим способ нахождения длины катета (А). Учитывая, что среднее геометрическое от проекции катета и длины гипотенузы равняется искомой нами величине катета: N = √(D*Nd).

Как найти длину проекции

Корень из произведения можно найти возведением в квадрат значения длины искомого катета (N), а затем поделенного на длину гипотенузы: Nd = (N / √ D)² = N² / D. При указании в исходных да

elhow.ru

как найти гипотенузу и второй катет треугольника????

Опускаяя проекцию. мы проводим высоту. . Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 30 и катетом 18. Находим высоту она равна по еор пифагора 24. Зная высоту, еаходим проекцию второго катета. Она равна 24^2/18=32 Гипотенуза равна 32+18=50. Следовательно другой катет по теор Пифагора равен 40.

по подобию треугольников

есть формулы ( они выводятся из подобия тр-ков, получившихся при построении в прямоуг. тр-ке высоты к гипотенузе0 квадрат катета = произведению гипотенузы на проэкцию этого катета на гипотенузу. сначала узнаете гипотенузу, второй катет вам поможет найти господин ПИФАГОР. я ответила на ваше КАК?

Узнаем угол между катетом 30 см и отрезком гипотенузу 18 см. Поэтому знаем второй острый угол. А дальше очень просто.

а линейкой не пробовал померять а?

touch.otvet.mail.ru

Срочно. Катет прямоугольного треугольника 12см,а его проэкция на гипотенузу 8см.найти гипотенузу и второй катет.

Решение: Найдем высоту этого треугольника, проведенную из вершины прямого угла: h=√(144-64)=√80 Тогда проекция другого катета на гипотенузу равна: Bc=h²/Ac=80/8=10 Следовательно второй катет равен: b=√(80+100)=√180=6√5 Гипотенуза равна: c=√(144+180)=18

Это же теорема о среднем пропорциональном .Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Находишь гипотенузу. Она равна катету, деленному на его проекцию. А дальше по теореме Пифагора находишь второй катет.

Обозначим треугольник: АВС, угол С-прямой. Из вершины прямого угла опускаем на гипотенузу высоту и ставим точку D. Катет АС=12 см, АD=8 см (это проекция катета на гипотенузу) . Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и ее отрезком, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины. Следовательно, АВ/АС=АС/AD ; АВ/12=12/8 ; АВ=144:8=18 см. СВ (второй катет) можно найти по теореме Пифагора: СВ =корень квадратный из 18 в квадрате минус 12 в квадрате = корень квадратный из 180 = корень квадратный из 36 * 5 = 6 корней из 5 см.

touch.otvet.mail.ru

Задача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника

Задача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника icon§ Как находить высоты и биссектрисы треугольника? Пример катеты прямоугольного треугольника равны 15 и Найдите высоту, опущенную на гипотенузуКатеты прямоугольного треугольника равны 15 и Найдите высоту, опущенную на гипотенузуЗадача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconAbc гипотенуза ав равна сНайдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу,...
Задача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconСредняя линия треугольника Является ли отрезок ef средней линией треугольника авс?Стороны треугольника равны 4 м, 6 м, 8 м. Чему равны средние линии этого треугольника?Задача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconСтороны треугольника равны 3,4,5 см Стороны треугольника равны 3,4,5 смПлощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними
Задача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconСвойства прямоугольного треугольникаОдин из углов прямоугольного треугольника 60º, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18см. Найти гипотенузу и меньший катетЗадача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconЗадача №2 Задача №3Высота с d прямоугольного треугольника авс делит гипотенузу ав на части аd=16см и вd = 9см. Докажите, что Высота с d прямоугольного...
Задача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconДва треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственными сторонами другого треугольникаЗадача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconСодержание Элементы треугольникаЕсли две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,...
Задача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconAbc вокруг катетаКонус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный...Задача Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 4 см и 12 см. Найдите стороны треугольника iconТреугольник геометрия 7 класс ПланКаждый из треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т е попарно совместятся их вершины и стороны....

dok.opredelim.com