Все формулы диагонали равнобедренной трапеции. Как найти основания трапеции если известны диагонали


Диагонали трапеции

Свойства диагоналей трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения - подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции - равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b - основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.  Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD - BC)/2 или LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции - являются подобными. Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными - они равны. Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.  Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это - треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований. 

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему "диагонали трапеции"

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b - основания трапеции

c, d - боковые стороны трапеции

d1 d2 - диагонали трапеции

α β - углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

 

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции,  одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа - задайте вопрос на форуме.

Задача. Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение. Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC 9 / 6 = 24 / BC BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ: 16 см

Задача. В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение. Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник.

Значит AD = AM+BC+KD a + 8 + b = 24 a

profmeter.com.ua

Все формулы диагонали равнобедренной трапеции

1. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции через ее стороны

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c - равные боковые стороны

d - диагональ трапеции

 

Формула диагонали трапеции (d ):

 

 

2. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции по теореме косинусов

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c - равные боковые стороны

α, β - углы трапеции

d - диагональ трапеции

 

Формулы диагонали трапеции (d ):

 

 

3. Формула длины диагонали равнобедренной трапеции

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

α, β - углы между диагоналями

h - высота трапеции

m - средняя линия трапеции

S - площадь трапеции

d - диагональ трапеции

 

Формулы диагонали трапеции (d ):

Справедливо для данного случая :

 

4. Формулы длины диагонали трапеции через высоту и стороны

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c - равные боковые стороны

h - высота трапеции

α - угол при нижнем основании

d - диагональ трапеции

 

Формулы диагонали трапеции (d ):

 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

www-formula.ru

Как найти диагональ трапеции?

Прежде, чем разбираться, как найти диагональ трапеции, вспомним, что такое трапеция. В планиметрии трапецией называют четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Эти параллельные стороны называют основаниями трапеции, а остальные — боковыми сторонами. Боковые стороны могут быть одинаковыми, тогда мы имеем дело с равнобедренной трапецией.

Далее подробно разберем порядок нахождения длины диагоналей для общего случая — неравнобедренной трапеции. При этом будем исходить из того, что исходными данными являются длины всех четырех сторон трапеции, углы у основания неизвестны.

Расчет диагонали трапеции

В изображенной на рисунке трапеции ABCD имеются две диагонали AC и BD. Порядок нахождения их длины одинаков, поэтому рассмотрим все на примере нахождения диагонали BD, противолежащей ˂BAD.

Диагональ BD одновременно является стороной треугольника ABD и может быть рассчитана по теореме косинусов с помощью формулы:

BD = √(AB2+AD2-2AB.AD.cos ˂BAD)

В этой формуле нам известны все величины, кроме косинуса ˂BAD. Чтобы вычислить его, нам необходимо будет выполнить небольшое преобразование рисунка. «Вырежем» из исходной трапеции прямоугольник BNMC. В результате получим треугольник ABD', в котором сторона BD' будет равна стороне трапеции CD.

˂BAD' в треугольнике равен ˂BAD в трапеции, так как никаких преобразований с треугольником ABN мы не выполняли. Итак, в этом треугольнике ABD' сторона AB нам известна, сторона BD' = CD, а сторона AD' = AD – NM = AD – BC.

Получается, что по теореме косинусов cos ˂BAD = cos ˂BAD' = (AB2 + AD'2 – BD'2)/2AB.AD' = (AB2 +(AD – BC)2 – CD2)/2AB.(AD – BC)

Подставив теперь полученное выражение в найденную ранее формулу, получим:

BD = √(AB2+AD2-2AB.AD.cos ˂BAD) = √(AB2+AD2-2AB.AD.(AB2 +(AD – BC)2 – CD2)/2AB.(AD

elhow.ru

Все формулы диагоналей трапеции

Найти длину диагонали трапеции

зная все четыре стороны

или две стороны и угол

или высоту, сторону и угол

или площадь, другую диагональ и угол

и еще много других формул.

 

1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны

Формулы диагонали трапеции по теореме косинусов

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c , d - боковые стороны

α, β - углы трапеции

d1 , d2 - диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:

Все формулы диагонали трапеции

Все формулы диагонали трапеции

 

 

Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:

Формулы диагонали трапеции через стороны

Формулы диагонали трапеции через стороны

 

 

2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту

Формула длины диагоналей трапеции через высоту

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c , d - боковые стороны

α, β - углы трапеции

h - высота трапеции

d1 , d2 - диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции через высоту:

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

 

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

 

3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

α, β - углы между диагоналями

h - высота трапеции

m - средняя линия трапеции

S - площадь трапеции

d1 , d2 - диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции :

Формулы диагонали трапеции через другую диагональ

Формулы диагонали трапеции через другую диагональ

Справедливо для данного случая :

 

4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей

Формулы длины диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c , d - боковые стороны

d1 , d2 - диагонали трапеции

 

Формула суммы квадратов диагоналей :

Сумма квадратов диагоналей трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции :

Формула длины диагонали через сумму квадратов диагоналей трапеции

Формула длины диагонали через сумму квадратов диагоналей трапеци

 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

www-formula.ru

Свойства диагоналей трапеции, с примерами

Решение Пусть BO=6\ cm, \quad OD=12\ cm, \quad AD-BC=36\ cm. Отрезок KP соединяет середины диагоналей и лежит на средней линии MN:

    \[KP=\frac{AD-BC}{2}=18\ cm\]

Так как P – середина диагонали, то

    \[OP=\frac{6+12}{2}=9\ cm\]

Треугольники KOP и BOC – подобные, а значит \frac{OP}{BO}=\frac{KP}{BC}, откуда BC=12 см. Следовательно,

    \[AD=BC+36=48\ cm\]

Найдем среднюю линию трапеции

    \[MN=\frac{AD+BC}{2}=30\ cm\]

ru.solverbook.com

Площадь трапеции через основания и диагонали

Как  найти площадь трапеции через ее основания и диагонали?

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поскольку основания известны, задача может быть сведена к нахождению высоты трапеции.

На самом деле, зная основания и диагонали, можно найти площадь трапеции и без высоты.

ploshchad-trapecii-cherez-diagonali-i-osnovaniyaДано: ABCD — трапеция,

AD∥BC, AD=a, BC=b,

AC=d1, BD=d2

Найти:

    \[{S_{ABCD}}\]

Решение:

1) Проведём

    \[CK \bot AD.\]

Через точку C проведем прямую, параллельную диагонали BD. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой, содержащей основание AD трапеции через F:

    \[CF\parallel BD,CF \cap AD = F.\]

2) В четырехугольнике BCFD AF∥BC (как прямые, содержащие основания трапеции), BD∥CF (по построению). Значит, BCFD — параллелограмм (по определению). Следовательно, его противоположные стороны равны: DF=BC=a, CF=BD=d2.

3) Рассмотрим треугольник ACF. AF=AD+DF=a+b.

Площадь треугольника ACF равна 

    \[{S_{\Delta ACF}} = \frac{1}{2}AF \cdot CK\]

Так как AF=AD+DF,

    \[{S_{\Delta ACF}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot CK = {S_{ABCD}}\]

Все три стороны треугольника ACF известны, поэтому его площадь можно найти по формуле Герона

    \[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,\]

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}.\]

Вместо a, b и c подставляем a+b, d1 и d2. Получаем:

    \[p = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2},\]

    \[p - a = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2} - (a + b) = \frac{{{d_1} + {d_2} - (a + b)}}{2},\]

    \[p - b = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2} - {d_1} = \frac{{a + b + {d_2} - {d_1}}}{2},\]

    \[p - c = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2} - {d_2} = \frac{{a + b + {d_1} - {d_2}}}{2}.\]

    \[p(p - a)(p - b)(p - c) = \]

    \[ = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2} \cdot \frac{{{d_1} + {d_2} - (a + b)}}{2} \times \]

    \[ \times \frac{{a + b + {d_2} - {d_1}}}{2} \cdot \frac{{a + b + {d_1} - {d_2}}}{2} = \]

    \[ = \frac{1}{{16}}({({d_1} + {d_2})^2} - {(a + b)^2})({(a + b)^2} - {({d_1} - {d_2})^2})\]

Таким образом, площадь трапеции через основания и диагонали может быть найдена по формуле

    \[S = \frac{1}{4}\sqrt {({{({d_1} + {d_2})}^2} - {{(a + b)}^2})({{(a + b)}^2} - {{({d_1} - {d_2})}^2})} .\]

Запоминать её не нужно, достаточно провести аналогичные рассуждения для своей задачи и по формуле Герона вычислить площадь треугольника, стороны которого равны диагоналям трапеции и сумме её оснований.

Задача.

Основания трапеции равны 10 см и 90 см, а диагонали равны 75 см и 35 см. Найти площадь трапеции.

ploshchad-trapecii-po-osnovaniyam-i-diagonalyamПроводим дополнительные построения и доказываем, что площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACF. Затем находим его площадь по формуле Герона:

    \[p = \frac{{AF + AC + CF}}{2} = \frac{{100 + 35 + 75}}{2} = 105(cm),\]

    \[{S_{\Delta ACF}} = \sqrt {105(105 - 100)(105 - 35)(105 - 75)} = 1050(c{m^2}),\]

    \[{S_{ABCD}} = {S_{\Delta ACF}} = 1050(c{m^2}).\]

Ответ: 1050 см².

В следующий раз рассмотрим, как по основаниям и диагонали найти площадь равнобедренной трапеции.

www.treugolniki.ru

Как найти площадь трапеции, если известны диагонали

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого друг другу параллельны. Основная формула площади трапеции - произведение полусуммы основания на высоту. В некоторых геометрических задачах на нахождение площади трапеции использовать основную формулу невозможно, но даны длины диагоналей. Как быть?

Инструкция

  • Общая формулаИспользуйте общую формулу площади для произвольного четырехугольника:S=1/2•AC•BD•sinφ, где AC и BD - длины диагоналей, φ - угол между диагоналями.
  • Если требуется доказать или вывести эту формулу, разбейте трапецию на 4 треугольника. Запишите формулу площади каждого из треугольников (1/2 произведения сторон на синус угла между ними). Берите тот угол, который образуется пересечением диагоналей. Далее используйте свойство аддитивности площади: запишите площадь трапеции как сумму площадей образующих ее треугольников. Сгруппируйте слагаемые, вынеся множитель 1/2 и синус за скобки (учитывая, что sin(180°-φ)=sinφ). Получите исходную формулу площади четырехугольника.Вообще, полезно рассматривать площадь трапеции как сумму площадей составляющих ее треугольников. Зачастую это является ключом к решению задачи.
  • Важные теоремыТеоремы, которые могут понадобиться, если числовое значение угла между диагоналями не задано в явном виде:1) Сумма всех углов треугольника равна 180°.В общем случае, сумма всех углов выпуклого многоугольника равна 180°•(n-2), где n - число сторон многоугольника (равное числу его углов).2) Теорема синусов для треугольника со сторонами a, b и c:a/sinA=b/sinB=c/sinC, где A, B, C - углы, лежащие напротив сторон a, b, c соответственно.3) Теорема косинусов для треугольника со сторонами a, b и c:c²=a²+b²-2•a•b•cosα, где α - угол треугольника, образованный сторонами a и b. Теорема косинусов имеет своим частным случаем знаменитую теорему Пифагора, т.к. cos90°=0.
  • Особые свойства трапеции - равнобокостьОбратите внимание на свойства трапеции, указанные в условии задачи. Если дана равнобедренная трапеция (боковые стороны равны), используйте то ее свойство, что диагонали в ней равны.
  • Особые свойства трапеции - наличие прямого углаЕсли дана прямоугольная трапеция (один из углов трапеции прямой), рассмотрите прямоугольные треугольники, находящиеся внутри трапеции. Вспомните, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, образующих прямой угол, т.к. sin90°=1.

completerepair.ru