Стороны и апофема усеченной пирамиды. Формула апофемы


Апофема правильной пирамиды

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Теоретические материалы и формулы см. в главе "Правильная пирамида".

Задача

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Решение.

Поскольку пирамида правильная, учтем следующее:

  • Высота пирамиды проецируется на центр основания
  • Центр основания правильной пирамиды по условию задачи - равносторонний треугольник
  • Центр равностороннего треугольника является одновременно центром вписанной и описанной окружности
  • Высота пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол
Объем пирамиды можно найти по формуле: V = 1/3 Sh

Поскольку апофема правильной пирамиды образует вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, для нахождения высоты используем теорему синусов. Кроме того, примем во внимание:

  • Первый катет рассматриваемого прямоугольного треугольника является высотой, второй катет - радиусом вписанной окружности (в правильном треугольнике центр одновременно является центром вписанной и описанной окружности), гипотенуза является апофемой пирамиды
  • Третий угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам ( сумма углов треугольника - 180 градусов, угол 60 градусов дан по условию, второй угол - прямой по свойствам пирамиды, третий 180-90-60 = 30 )
  • синус 30 градусов равен 1/2
  • синус 60 градусов равен корню из трех пополам 
  • синус 90 градусов равен 1
Согласно теореме синусов: 4 / sin( 90 ) = h / sin ( 60 ) = r / sin( 30 ) 4 = h / ( √3 / 2 ) = 2r откуда r = 2 h = 2√3

В основании пирамиды лежит правильный треугольник, площадь которого можно найти по формуле: S правильного треугольника = 3√3 r2. S = 3√3 22 . S = 12√3 .

Теперь найдем объем пирамиды: V = 1/3 Sh V = 1/3 * 12√3  * 2√3  V = 24 см3 .

Ответ: 24 см3 .

Задача

Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды.

Решение.

Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.

Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:

72 + 242 = x2 x2 = 625 x = 25

Ответ: 25 см

 Правильная пирамида | Описание курса | Объем правильной усеченной пирамиды 

   

profmeter.com.ua

Апофема и сторона основания правильной пирамиды

Периметр основания правильной пирамиды равен произведению длины стороны основания на их удвоенное количество, а площадь – отношению количества сторон, умноженных на квадрат стороны, к четырем тангенсам угла из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, являющимся основанием правильной пирамиды, равен отношению стороны к двум тангенсам того же угла, а радиус окружности, описанной вокруг такого многоугольника, - отношению стороны к двум синусам. (рис.34.1,34.2) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти внутренний угол многоугольника в основании правильной пирамиды, нужно умножить 180 градусов на отношение разности количества сторон и двух единиц к самому количеству сторон такого многоугольника. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, можно найти боковое ребро и высоту пирамиды из прямоугольных треугольников, образованных ими, через теорему Пифагора. (рис.34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(l^2+a^2/4)

Угол между апофемой и основанием легко вычислить, найдя его косинус, который равен отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме, и воспользовавшись таблицами Брадиса. Угол между боковым ребром и основанием находится аналогично через косинус, как отношение радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру. (рис.34.4, 34.5) cos⁡α=R/b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 √(l^2+a^2/4)) cos⁡β=r/l=a/(2l tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды через апофему и сторону основания, необходимо сначала найти площадь одной ее грани-треугольника, и затем умножить ее на количество граней – сторон в основании. Площадь полной поверхности пирамиды будет равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. S_(б.п.)=lan/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем правильной пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленному на три. Подставив необходимое выражение вместо площади основания и высоты, получим форму объема пирамиды через апофему и сторону основания. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы вписать в правильную пирамиду сферу, ее радиус должен быть равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а чтобы описать такую же сферу вокруг пирамиды, нужно чтобы ее радиус совпадал с отношением квадрата бокового ребра к двум высотам такой пирамиды. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 (2l+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=(4l^2+a^2)/(8√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

geleot.ru

Как найти апофему | Сделай все сам

Апофемой в пирамиде называют отрезок, проведенный из ее вершины к основанию одной из боковых граней, если отрезок перпендикулярен этому основанию. Боковая грань такой объемной фигуры неизменно имеет треугольную форму. Следственно при необходимости вычисления длины апофемы возможно применение свойств как многогранника (пирамиды), так и многоугольника (треугольника).

Вам понадобится

  • — геометрические параметры пирамиды.

Инструкция

1. В треугольнике боковой грани апофема (f) является высотой, следственно при знаменитой длине бокового ребра (b) и угле (?) между ним и ребром, на которое опущена апофема, дозволено применять знаменитую формулу вычисления высоты треугольника. Умножьте заданную длину ребра на синус вестимого угла: f = b*sin(?). Эта формула применима к пирамидам всякий (положительной либо неправильной) формы.

2. Для вычисления всякой из 3 апофем (f) положительной треугольной пирамиды довольно знать каждого один параметр — длину ребра (a). Это объясняется тем, что грани такой пирамиды имеют форму равносторонних треугольников идентичных размеров. Для нахождения высот всего из них вычислите половину произведения длины ребра на квадратный корень из 3: f = a*?3/2.

3. Если вестима площадь (s) боковой грани пирамиды, в дополнение к ней довольно знать длину (a) всеобщего ребра этой грани с основанием объемной фигуры. В этом случае длину апофемы (f) находите удвоением соотношения между площадью и длиной ребра: f = 2*s/a.

4. Зная всеобщую площадь поверхности пирамиды (S) и периметр ее основания (p) тоже дозволено вычислить апофему (f), но только для многогранника положительной формы. Удвойте площадь поверхности и поделите итог на периметр: f = 2*S/p. Форма основания в этом случае не имеет значения.

5. Число вершин либо сторон основания (n) надобно знать в том случае, если в условиях даны длина ребра (b) боковой грани и величина угла (?), тот, что образуют два смежных боковых ребра верной пирамиды. При таких начальных условиях вычисляйте апофему (f) умножением числа сторон основания на синус вестимого угла и возведенную в квадрат длину бокового ребра с дальнейшим делением полученной величины напополам: f = n*sin(?)*b?/2.

6. В положительной пирамиде с четырехугольным основанием для нахождения длины апофемы (f) дозволено применять высоту многогранника (H) и длину ребра основания (a). Извлеките квадратный корень из суммы возведенной в квадрат высоты и четверти от возведенной в квадрат длины ребра: f = ?(H?+a?/4).

Апофема — высота боковой грани, проведенная в положительной пирамиде из её вершины. Ее дозволено обнаружить как в обыкновенной верной пирамиде, так и усеченной. Разглядим оба случая

Инструкция

1. Верная пирамидаВ ней все боковые ребра равны, боковые грани – равнобедренные равные треугольники, а основание – верный многоугольник. Т.к. все апофемы верной пирамиды равны, то довольно обнаружить одну в любом треугольнике. Треугольники являются равнобедренными, а апофема – это высота. Высота, проведенная в равнобедренном треугольнике из вершины к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана делит сторону напополам, а биссектриса угол на два равных угла. Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины к основанию.

2. Возможен, вестимы все стороны равнобедренного треугольника и проведена медиана, которая делит основание на два равных отрезка. Т.к. медиана – это высота, то она является перпендикуляром, т.е. угол между медианой и основанием равен 90 градусов. Значит, получается прямоугольный треугольник. Боковая сторона является гипотенузой, половина основания и высота(медиана) – это катеты. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким методом дозволено обнаружить высоту.

3. Пускай вестим угол, лежащий наоборот основания. И какая-либо одна из сторон (либо боковая, либо основание). Биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является высотой. Следственно вновь получается прямоугольный треугольник. Вестим угол и одна из сторон. С подмогой синуса, косинуса и тангенса дозволено обнаружить высоту. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, катет- отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс – отношение синуса к косинусу либо противолежащего катета к прилежащему. Подставив знаменитые стороны, вычислите высоту.Площадь боковой поверхности верной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

4. Верная усеченная пирамидаБоковые грани – верные трапеции. Боковые ребра равны. Апофема – высота, проведенная в трапеции. Пускай знамениты два основания и боковое ребро. Из вершины проводятся высоты так, дабы на большем основании они отсекли прямоугольник. Тогда, если мысленно убрать прямоугольник, останется равнобедренный треугольник, высоту которого дозволено обнаружить по первому методу. Если вестимы тупые углы трапеции, то при проведении высоты, нужно вычесть угол, равный 90 градусов(т.к. высота – это перпендикуляр)из тупого. Тогда станет вестим острый угол в треугольнике. Высоту либо апофему вновь же дозволено обнаружить по 1 методу.

Пирамида – одна из самых необъяснимых фигур в геометрии. С ней объединяют потоки космической энергии, многие древние народы избирали именно эту форму для строительства своих культовых сооружений. Тем не менее, с точки зрения математики, пирамида – это каждого лишь многогранник, с многоугольником в основании, а гранями являются треугольники с всеобщей вершиной. Разглядим, как обнаружить площадь грани в пирамиде.

Вам понадобится

Инструкция

1. Пирамиды бывают следующих типов: верная (в основании — положительный многоугольник, а проекция вершины пирамиды на основание – его центр), произвольная (в основании лежит всякий многоугольник, а проекция вершины необязательно совпадает с его центром), прямоугольная (одно из боковых ребер составляет с основанием прямой угол) и усеченная. В зависимости от того, сколько сторон имеет многоугольник в основании пирамиды, ее называют 3-, четырех-, пяти либо, к примеру, десятиугольной.

2. От того что боковая грань всякий пирамиды (помимо усеченной) — это треугольник, нахождение площади грани сводится к определению его площади. В усеченной пирамиде боковая грань – трапеция. Выходит, разберемся, как обнаружить площадь грани пирамиды в всяком отдельном случае.

3. Для всех видов пирамид, помимо усеченной:Перемножьте длины основания треугольника и опущенной на него высоты из вершины пирамиды. Поделите полученное произведение на 2 – это и будет желанная площадь боковой грани пирамиды.

4. Усеченная пирамидаСложите оба основания трапеции, являющейся гранью такой пирамиды. Поделите полученную сумму на два. Умножьте полученное значение на высоту грани -трапеции. Полученная в итоге величина – площадь боковой грани пирамиды данного типа.

Видео по теме

Полезный совет Площадь боковой поверхности и основания, периметр основания пирамиды и ее объем объединяют между собой определенные формулы. Это порой дает вероятность вычислить значения недостающих данных, нужных для определения площади грани в пирамиде.Объем всякий не усеченной пирамиды равен трети от произведения высоты пирамиды и площади основания. Для положительной пирамиды объективно: площадь боковой поверхности равна половине периметра основания умноженного на высоту одной из граней. При расчете объема усеченной пирамиды, взамен площади основания подставляется величина, равная сумме площадей верхнего, нижнего основания и квадратного корня из их произведения.

jprosto.ru

виды пирамид, формулы объема и площади поверхности, апофема, высота — Колпаков Александр Николаевич

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:1) Содержащий апофему SK и высоту SP2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PAЧтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:1) Все апофемы равны2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:1) Все боковые ребра равны2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны все проекции боковых ребер будет равны P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней .Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,репетитор по математике в Москве. Строгино

ankolpakov.ru

Свойства пирамиды, с примерами

В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д.

Свойства пирамиды

  1. Около основания пирамиды можно описать окружность, если боковые ребра имеют одинаковую длину, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности. Боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы.
  2. Если боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, то около основания пирамиды можно описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, а также высоты боковых граней имеют равную длину.
  3. Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани

       

  4. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту пирамиды

       

Свойства правильной пирамиды

  1. Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
  2. Боковые грани правильной пирамиды равны между собой и являются равнобедренными треугольниками.
  3. Апофемы правильной пирамиды равны.
  4. В любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу.
  5. Все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Стороны и апофема усеченной пирамиды

Стороны оснований правильной усеченной пирамиды дают возможность вычислить все, что связано с основаниями, используя формулы для правильных многоугольников. Среди таких параметров можно перечислить внутренний угол многоугольника, его периметр, площадь, радиус окружности, вписанной в основание, и радиус окружности, которая может быть описана около него. γ=180°(n-2)/n P=n(a+b+d) S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ) R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Зная апофему усеченной пирамиды, можно вычислить боковое ребро через прямоугольную трапецию, которая их связывает по боковой грани пирамиды. Основаниями такой трапеции являются половины сторон оснований пирамиды, поэтому по прямоугольному треугольнику боковое ребро будет равно радикалу из теоремы Пифагора. (рис. 50.2) d=√(f^2+(b/2-a/2)^2 )=√(f^2+(b-a)^2/4)

Чтобы вычислить высоту усеченной пирамиды, необходимо найти такую же прямоугольную трапецию во внутреннем пространстве усеченной пирамиды, тогда в такой трапеции и прямоугольном треугольнике высота будет равна аналогичному радикалу через радиусы вписанных в основания окружностей и апофему (рис. 50.4) h=√(f^2-(r_b-r_a )^2 )

Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и апофеме, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции. cos⁡β=(r_b-r_a)/f α=180°-β

Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую боковое ребро образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.3) cos⁡δ=(R_b-R_a)/d ε=180°-δ

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна произведению количества сторон в основании на апофему и полусумму сторон оснований. Чтобы найти площадь полной поверхности через стороны усеченной пирамиды, нужно прибавить к площади боковой поверхности еще два основания. S_(б.п.)=nf (a+b)/2 S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Для того чтобы вычислить объем усеченной пирамиды, необходимо сначала найти высоту через теорему Пифагора, как было указано выше, а затем найти треть произведения высоты на сумму площадей оснований с квадратным корнем из их произведения. V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))

geleot.ru

Правильная пирамида

Правильная пирамида - частный случай пирамиды.

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её  основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания. 

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)  
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды - это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Свойства правильной пирамиды

Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.

  • боковые ребра равны между собой
  • апофемы равны
  • боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
  • все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n — количество сторон многоугольника основания
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
  • около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
  • все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
  • все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения: V - объем пирамиды S - площадь основания h - высота пирамиды Sb - площадь боковой поверхности  a - апофема (не путать с α) P - периметр основания n - число сторон основания b - длина бокового ребра α - плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V - объем правильной пирамиды h - высота правильной пирамиды n - число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды a - длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. 

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

  •  Расстояние между основаниями ус

profmeter.com.ua